ക്രോസ് ഗുണനം

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ്, ഉദാഹരണത്തിന് വെക്റ്ററുകൾ A , B എന്നിവ A x B ( A ക്രോസ് B ) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു . ഈ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലം ഒരു വെക്റ്റർ അളവ് ഉണ്ടാക്കുന്നതിനാൽ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റിനെ വെക്റ്റർ പ്രോഡക്റ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്റർ എയും വെക്റ്റർ ബിയും താഴെയുള്ള ചിത്രം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് നിർവചിക്കാൻ A ദാൻ B (A x B), നമ്മൾ വെക്റ്റർ വരയ്ക്കുന്നു A ദാൻ B മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, കൂടാതെ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ B, A യ്ക്ക് ലംബമാണ്, അത് B sin theta ന് തുല്യമാണ്.

അങ്ങനെ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റിന്റെ വ്യാപ്തി നമുക്ക് നിർവചിക്കാം. A ദാൻ B (A x B) വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തിയുടെ ഗുണനഫലമായി A വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് B വെക്റ്ററിന് ലംബമായി A.

നമ്മൾ A x B യെ B x A ആക്കി മാറ്റിയാലോ?

ആദ്യം, നമ്മൾ B , A എന്നീ വെക്‌ടറുകളും B യ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കുന്ന വെക്‌ടർ A യുടെ ഘടകങ്ങളും വരയ്ക്കുന്നു.

ഈ ചിത്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് നമുക്ക് നിർവചിക്കാം B ദാൻ A (B x A) വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തിയുടെ ഗുണനഫലമായി B വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് A വെക്റ്ററിന് ലംബമായി B. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എഴുതിയത്:

ക്രോസ് ഗുണനത്തിന്റെ ദിശ A x B

ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് ഒരു വെക്റ്റർ പ്രോഡക്റ്റാണ്, അതിനാൽ ഫലത്തിന് കാന്തിമാനവും ദിശയും ഉണ്ട്. വെക്റ്റർ പ്രോഡക്റ്റിന്റെ കാന്തിമാനത്തിന്റെ അളവ് മുകളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞു; ഇനി നമുക്ക് അതിന്റെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. A x B യുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കാൻ , താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമ്മൾ ആദ്യം A, B എന്നീ വെക്റ്ററുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും നമ്മൾ ഒരു തലത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നു.

ക്രോസ് ഗുണനം A x B വെക്റ്റർ ഉള്ള തലത്തിന് ലംബമായി ഒരു വെക്റ്റർ ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു A ദാൻ B സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. വലിപ്പം സമാനമാണ് AB പാപം ടെറ്റഎങ്കിൽ C = A x B അങ്ങനെ C = AB പാപം ടെറ്റ

A , B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ കിടക്കുന്ന തലത്തിന് ലംബമായാണ് C യുടെ ദിശ . വലതുകൈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് C യുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കാം . നമ്മുടെ വിരലുകൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തള്ളവിരൽ മുകളിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്ന അതേ ദിശയിലായിരിക്കും C യുടെ ദിശ.

ക്രോസ് ഗുണനത്തിന്റെ ദിശ B x A

B x A യുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കാൻ , ആദ്യം താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമ്മൾ B യും A യും വെക്‌ടറുകൾ വരയ്ക്കുന്നു . ഈ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഒരു തലത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ C = B x A അങ്ങനെ C = ബിഎ സിൻ ടെറ്റ.

C യുടെ ദിശ, B യും A യും വെക്‌ടറുകൾ കിടക്കുന്ന തലത്തിന് ലംബമാണ് . വലതുകൈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് C യുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കാം . നമ്മുടെ വിരലുകൾ ഘടികാരദിശയിൽ പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, C യുടെ ദിശ തള്ളവിരലിന്റെ ദിശ താഴേക്ക് ചൂണ്ടുന്ന ദിശയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

A x B തുല്യമല്ല B x A. ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് ഒരു വെക്റ്റർ ക്വാണ്ടിറ്റിയിൽ കലാശിക്കുന്നു, അതിന് കാന്തിമാനം ഉണ്ടായിരിക്കുന്നതിനു പുറമേ, ഒരു ദിശയും ഉണ്ട്. മുകളിലുള്ള ഡ്രോപ്പിൽ, ദിശ A x B വിപരീത ദിശയിൽ B x A.

ക്രോസ് ഗുണനത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ട ചില കാര്യങ്ങൾ:

1. ക്രോസ് ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് വിരുദ്ധമാണ്.

എ x ബി = – ബി x എ

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് A x B യിലെ B യുടെ ദിശ B x A യിലെ B യുടെ ദിശയ്ക്ക് വിപരീതമാണ് എന്നാണ്.

2. രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ , രൂപം കൊള്ളുന്ന കോൺ 90 ^o ആണ് . Sin 90 ^{o = 1. അങ്ങനെ,} A യും B യും വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള ക്രോസ് പ്രോഡക്‌ടിന്റെ കാന്തിമാനം ഇതുപോലെ ദൃശ്യമാകും:

A x B = AB sin theta = AB sin 90 ^o = AB

ബി x എ = ബിഎ സിൻ തീറ്റ = ബിഎ സിൻ 90 ^o = ബിഎ

3. രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഒരേ ദിശയിലാണെങ്കിൽ, രൂപപ്പെടുന്ന കോൺ 0 ^o ആണ്.

Sin 0 ^{o = 0. അങ്ങനെ,} A യും B യും വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള ക്രോസ് പ്രോഡക്‌ടിന്റെ മൂല്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ദൃശ്യമാകും.

A x B = AB sin theta = AB sin 0 ^o = 0

ബി x എ = ബിഎ സിൻ തീറ്റ = ബിഎ സിൻ 0 ^o = 0