ഘടകം അനുസരിച്ചുള്ള വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങൾ
രണ്ടോ അതിലധികമോ വെക്റ്ററുകളുടെ ഫലം കണ്ടെത്താൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന പ്രക്രിയയാണ് വെക്റ്റർ സങ്കലനം. വെക്റ്റർ സങ്കലനം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘടക തിരിച്ചുള്ള സമീപനം പ്രത്യേകിച്ചും ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു രീതിയാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് രണ്ടോ മൂന്നോ മാനങ്ങളിൽ വെക്റ്ററുകളുമായി ഇടപെടുമ്പോൾ. ഈ ലേഖനം ഘടക തിരിച്ചുള്ള വെക്റ്റർ സങ്കലനത്തിന്റെ ആശയം വിശദീകരിക്കുകയും നിരവധി ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും നൽകുകയും ചെയ്യും.
ഘടക വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ ആശയം
ദ്വിമാന (2D) സ്ഥലത്തിലെ ഓരോ വെക്റ്ററിനെയും രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: ഒരു x (തിരശ്ചീന) ഘടകം, ഒരു y (ലംബ) ഘടകം. ത്രിമാന (3D) യിൽ, വെക്റ്ററുകൾക്ക് z (ആഴം) ഘടകം എന്ന ഒരു അധിക ഘടകം ഉണ്ട്.
നമുക്ക് A, B എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:
– വെക്റ്റർ A യിൽ 2D യിൽ \(A_x\) ഉം \(A_y\) ഉം (അല്ലെങ്കിൽ 3D യിൽ \(A_z\) ഉം) ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.
– വെക്റ്റർ ബിയിൽ 2D യിൽ \(B_x\) ഉം \(B_y\) ഉം (അല്ലെങ്കിൽ 3D യിൽ \(B_z\) ഉം) ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.
ഈ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും കൂടി ചേർക്കുമ്പോൾ ഒരു വെക്റ്റർ R ലഭിക്കും, അതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
\[ ആർ_എക്സ് = എ_എക്സ് + ബി_എക്സ് \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D-യിലെ വെക്റ്ററുകൾക്ക്, z ഘടകം താഴെ പറയുന്നതുമാണ്:
\[ R_z = A_z + B_z \]
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ഓരോ ഘടകവും കണക്കാക്കിയ ശേഷം, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ മോഡുലസും (കാന്തികത) ദിശയും നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D-ക്ക്)
അല്ലെങ്കിൽ 3D-ക്ക്:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള കോൺ ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.
സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ചോദ്യം 1
ഒരു ദ്വിമാന തലത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ:
– A കിഴക്കോട്ടാണ് \(5 \, \text{unit}\) .
– B വടക്കോട്ടാണ് \(3 \, \text{unit}\) .
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച
ആദ്യം, നമ്മൾ വെക്റ്ററിനെ അതിന്റെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു.
– വെക്റ്റർ എ: \(A = (5, 0)\) കാരണം അതിൽ ഒരു x ഘടകം മാത്രമേ ഉള്ളൂ.
– വെക്റ്റർ ബി: \(B = (0, 3)\) കാരണം ഇതിന് y ഘടകം മാത്രമേ ഉള്ളൂ.
ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇതാ:
\[ ആർ_എക്സ് = എ_എക്സ് + ബി_എക്സ് = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R ആണ്:
\[ ആർ = (5, 3) \]
വെക്റ്ററിന്റെ നീളം (മോഡുലസ്) കണക്കാക്കാൻ R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ഏകദേശം 5.83 \]
x-അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള θ കോൺ ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ R ന്റെ ദിശ കണക്കാക്കാം:
\[ \ടാൻ(\തീറ്റ) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \ഏകദേശം 30.96^\circ \]
അങ്ങനെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടർ R ന് ഏകദേശം 5.83 യൂണിറ്റ് നീളമുണ്ട്, കൂടാതെ x-അക്ഷവുമായി 30.96° കോൺ രൂപപ്പെടുന്നു.
ചോദ്യം 2
ത്രിമാനങ്ങളിൽ രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:
– A എന്നത് \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) ആണ്.
– B എന്നത് \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\) ആണ്.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച
ആദ്യം, ഓരോ വെക്റ്ററിന്റെയും ഘടകങ്ങൾ നമ്മൾ തിരിച്ചറിയുന്നു:
– വെക്റ്റർ എ : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– വെക്റ്റർ ബി : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇതാ:
\[ ആർ_എക്സ് = എ_എക്സ് + ബി_എക്സ് = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R ആണ്:
\[ ആർ = (4, 6, 3) \]
വെക്റ്ററിന്റെ നീളം (മോഡുലസ്) കണക്കാക്കാൻ R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \ഏകദേശം 7.81 \]
x, y, z അക്ഷങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വെക്റ്റർ R ന്റെ ദിശ ഡയറക്ടറിയുടെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \ഏകദേശം 0.512 \]
\[ \ആൽഫ = \ആർക്കോസ്(0.512) \ഏകദേശം 59.50^\സർക്കിൾ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \ഏകദേശം 0.768 \]
\[ \ബീറ്റ = \ആർക്കോസ്(0.768) \ഏകദേശം 39.50^\സർക്കിൾ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \ഏകദേശം 0.384 \]
\[ \ഗാമ = \ആർക്കോസ്(0.384) \ഏകദേശം 67.64^\സർക്കിൾ \]
അങ്ങനെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടർ R ന് ഏകദേശം 7.81 യൂണിറ്റ് നീളമുണ്ട്, x, y, z അക്ഷങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അതിന്റെ ദിശകൾ 59.50°, 39.50°, 67.64° എന്നിവയാണ്.
ചോദ്യം 3
രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:
– P യുടെ കാന്തിമാനം 4 യൂണിറ്റാണ്, പോസിറ്റീവ് x-അക്ഷത്തിലേക്ക് 45° കോൺ രൂപപ്പെടുന്നു.
– Q യുടെ കാന്തിമാനം 6 യൂണിറ്റാണ്, പോസിറ്റീവ് x-അക്ഷത്തിലേക്ക് 120° കോൺ രൂപപ്പെടുന്നു.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച
ആദ്യം, നമ്മൾ വെക്റ്ററിനെ അതിന്റെ x, y ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:
– വെക്റ്റർ P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– വെക്റ്റർ Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇതാ:
\[ ആർ_x = പി_x + ക്യു_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
അപ്പോൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R ആണ്:
\[ ആർ = (-0.17, 8.03) \]
വെക്റ്ററിന്റെ നീളം (മോഡുലസ്) കണക്കാക്കാൻ R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \ഏകദേശം 8.03 \]
വെക്റ്റർ R ന്റെ ദിശ:
\[ \ടാൻ(\തീറ്റ) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \തീറ്റ = \ആർക്റ്റാൻ(-47.24) \ഏകദേശം -88.99^\സർക്കിൾ \]
എന്നിരുന്നാലും, ഈ കോൺ നെഗറ്റീവ് x-അക്ഷത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണ് അളക്കുന്നത്, അതിനാൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ യഥാർത്ഥ കോൺ ഇതാണ്:
\[ 180^\സർക്കിൾ – 88.99^\സർക്കിൾ \ഏകദേശം 91.01^\സർക്കിൾ \]
അങ്ങനെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ R ന് ഏകദേശം 8.03 യൂണിറ്റ് നീളമുണ്ട്, കൂടാതെ പോസിറ്റീവ് x-അക്ഷവുമായി 91.01° കോൺ രൂപപ്പെടുന്നു.
ഈ ലേഖനം ഘടക തിരിച്ചുള്ള വെക്റ്റർ സങ്കലനത്തെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ഇത് നിരവധി ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും നൽകുന്നു. സ്ഥലത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാനത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും വെക്റ്റർ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു വ്യവസ്ഥാപിത മാർഗം നൽകുന്നതിനും ഘടക തിരിച്ചുള്ള രീതി വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.
