വെക്റ്റർ സബ്‌ട്രാക്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചർച്ചാ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കലിന്റെ ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും

പെൻഡഹുലുവൻ

ഗണിതത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും, പ്രകൃതിദത്തവും എഞ്ചിനീയറിംഗ് പ്രതിഭാസങ്ങളും വിശദീകരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ് വെക്‌ടറുകൾ. കാന്തിമാനവും ദിശയും ഉള്ള ഒരു അളവാണ് വെക്‌ടർ. സ്ഥാനചലനം, പ്രവേഗം, ത്വരണം, ബലം എന്നിവയാണ് വെക്‌ടറുകളുടെ ചില പ്രധാന ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ, വെക്‌ടർ വ്യവകലനത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും, എന്നിരുന്നാലും ഈ വിഷയം പലപ്പോഴും വെക്‌ടർ സംയോജനത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഊന്നിപ്പറയുന്നു.

വെക്റ്റർ വിശകലനത്തിൽ നിർണായകമായ ഒരു അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനമാണ് വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ. ഈ ആശയത്തിലേക്ക് കൂടുതൽ ആഴ്ന്നിറങ്ങാൻ, വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങളും ചർച്ചകളും നമുക്ക് അവലോകനം ചെയ്യാം.

വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} എന്ന വെക്റ്ററിനെ {\displaystyle -\mathbf{B}} എന്ന വെക്റ്ററുമായി ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനമായാണ് വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഇവിടെ {\displaystyle -\mathbf{B}} എന്നത് {\displaystyle \mathbf{B}} ന് സമാനമായ കാന്തിമാനമുള്ളതും എന്നാൽ വിപരീത ദിശയിലുള്ളതുമായ ഒരു വെക്റ്ററാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും

ചോദ്യം 1: ദ്വിമാന വെക്റ്ററുകൾ കുറയ്ക്കൽ

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} ഉം {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)} ഉം. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} കണക്കാക്കുക.

ചർച്ച:

ആദ്യപടി {\displaystyle \mathbf{B}} ന്റെ നെഗറ്റീവ് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതായത്:

{\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ -\mathbf{B} = (-1, -2)}

അടുത്തതായി, {\displaystyle -\mathbf{B}} ഉപയോഗിച്ച് {\displaystyle \mathbf{A}} എന്ന വെക്റ്റർ ചേർക്കുക:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

ഓരോ x ഉം y ഉം ഘടകങ്ങൾ ചേർത്ത് വെക്റ്റർ സങ്കലനം നടത്തുക:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

അപ്പോൾ, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} എന്ന വെക്‌ടറുകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലം വെക്‌ടർ ആണ് (3, 1).

ചോദ്യം 2: ത്രിമാന വെക്റ്ററുകൾ കുറയ്ക്കൽ

ത്രിമാന നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} ഉം {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)} ഉം. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} കണക്കാക്കുക.

ചർച്ച:

ആദ്യപടി {\displaystyle \mathbf{Q}} ന്റെ നെഗറ്റീവ് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്:

{\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}

അടുത്തതായി, {\displaystyle -\mathbf{Q}} ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ {\displaystyle \mathbf{P}} ചേർക്കുക:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

ഓരോ x, y, z ഘടകങ്ങളും ചേർത്ത് വെക്റ്റർ സങ്കലനം നടത്തുക:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

അപ്പോൾ, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} എന്ന വെക്‌ടറുകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലം വെക്‌ടർ ആണ് (5, -9, -1).

ചോദ്യം 3: സങ്കീർണ്ണ തലത്തിലെ വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} ഉം {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i} ഉം. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} കണക്കാക്കുക.

ചർച്ച:

ആദ്യപടി {\displaystyle \mathbf{N}} ന്റെ നെഗറ്റീവ് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

അടുത്തതായി, {\displaystyle -\mathbf{N}} ഉപയോഗിച്ച് {\displaystyle \mathbf{M}} എന്ന വെക്റ്റർ ചേർക്കുക:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

ഓരോ യഥാർത്ഥ ഘടകങ്ങളും സാങ്കൽപ്പിക ഘടകങ്ങളും ചേർത്ത് വെക്റ്റർ സങ്കലനം നടത്തുക:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

അപ്പോൾ, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} എന്ന വെക്‌ടറുകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലം 2 + 2i എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്.

ചോദ്യം 4: പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ

പോളാർ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:
{\displaystyle \mathbf{U}} യുടെ കാന്തിമാനം 5 ഉം കോൺ 30° ഉം ആണ്,
കൂടാതെ {\displaystyle \mathbf{V}} ന് 3 കാന്തിമാനവും 150° കോണും ഉണ്ട്.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} കണക്കാക്കുക.

ചർച്ച:

ആദ്യപടിയായി {\displaystyle \mathbf{U}} ഉം {\displaystyle \mathbf{V}} ഉം വെക്റ്ററുകളെ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക എന്നതാണ്.
{\displaystyle \mathbf{U}} എന്നതിനായി:
{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

അപ്പോൾ കാർട്ടീഷ്യനിൽ {\displaystyle \mathbf{U}} എന്നത് (4.33, 2.5) ആണ്.

{\displaystyle \mathbf{V}} എന്നതിനായി:
{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

അപ്പോൾ കാർട്ടീഷ്യനിൽ {\displaystyle \mathbf{V}} എന്നത് (-2.598, 1.5) ആണ്.

അടുത്ത ഘട്ടം, കാർട്ടീഷ്യനിൽ വെക്റ്റർ വ്യവകലനം കണക്കാക്കുക:

{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

അതായത് വെക്റ്ററിന്റെ നെഗറ്റീവ് ചേർക്കുന്നതിലൂടെ:

{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

{\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

അപ്പോൾ, കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ വെക്റ്റർ {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ ഫലം (6.928, 1) ആണ്.

ഉപസംഹാരം

വെക്റ്റർ വിശകലനം ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്ന പല മേഖലകളിലും വെക്റ്റർ കുറയ്ക്കൽ ഒരു അത്യാവശ്യ ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. ദ്വിമാന, ത്രിമാന, സങ്കീർണ്ണമായ അല്ലെങ്കിൽ പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിലായാലും, അടിസ്ഥാന തത്വം അതേപടി തുടരുന്നു: ഒരു വെക്റ്ററിനെ മറ്റൊന്നിന്റെ നെഗറ്റീവിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഈ പ്രവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ വഴികൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇത് ആശയം കൂടുതൽ ആഴത്തിലും പ്രായോഗികമായും മനസ്സിലാക്കാൻ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു.