Материјал за Бернулиевиот принцип и равенката
Кога возиме мотоцикл доста брзо, облеката што ја носиме се надува одзади. Ако сè уште не можете да возите мотоцикл, обрнете внимание на вашите родители или пријатели кои возат мотоцикли. Задниот дел од нивната облека обично се надува одзади кога мотоциклот се движи брзо. Понекогаш кога дува силен ветер, вратата од куќата може сама да се затвори. Иако ветерот дува надвор од куќата, додека вратата е внатре во куќата.
Ова може да се објасни со помош на Бернулиевиот принцип. Даниел Бернули (1700–1782) открил принцип што може да се користи за објаснување на некои од горенаведените работи.
Принципот на Бернули
Бернулиевиот принцип вели дека кога брзината на проток на флуид е голема, притисокот на флуидот е низок. Обратно, ако брзината на проток на флуид е мала, притисокот станува висок. Кога мотоциклот се движи брзо, брзината на воздухот пред и покрај вашето тело е висока. Така, притисокот на воздухот станува низок. Задниот дел од вашето тело е блокиран од предниот дел на вашето тело, па брзината на воздухот зад вашето тело не се менува на висока (веднаш зад вашето тело). Како резултат на тоа, притисокот на воздухот зад вашето тело станува поголем. Бидејќи постои разлика во притисокот на воздухот, каде што притисокот на воздухот веднаш зад вашето тело е поголем, воздухот ја турка вашата кошула наназад, правејќи да изгледа како да е надуена одзади.
Што е со врата што се затвора сама кога дува силен ветер однадвор? Воздухот однадвор се движи побрзо од воздухот внатре. Како резултат на тоа, воздушниот притисок однадвор е помал од воздушниот притисок внатре. Поради оваа разлика во притисокот, каде што воздушниот притисок однатре е поголем, вратата се турка нанадвор. Со други зборови, вратата се движи од место со поголем воздушен притисок кон место со помал воздушен притисок.
Бернулиева равенка
Претходно, учевме за Бернулиевиот принцип. Бернули го развил и овој принцип квантитативно. За да ја изведеме Бернулиевата равенка, претпоставуваме стабилен, ламинарен проток на флуид, некомпресибилност и низок вискозитет, што може да се игнорира.
Во дискусијата за равенката на континуитет, дознавме дека брзината на проток на флуид може да варира и во зависност од пресечната површина на проточната цевка. Врз основа на Бернулиевиот принцип објаснет погоре, притисокот на флуидот може да варира и во зависност од брзината на проток на флуидот. Притисокот на флуидот може да варира и во зависност од висината на флуидот. Односот помеѓу притисокот, брзината на проток и висината на протокот може да се добие од Бернулиевата равенка.
Бернулиевата равенка е многу важна бидејќи може да се користи за анализа на летот на воздухоплови, хидроелектрани, цевководни системи итн. За да ја примениме Бернулиевата равенка што ќе ја изведеме генерално, ќе претпоставиме дека флуидот тече низ проточна цевка со нееднакви површини на пресек, а исто така и различни висини (видете ја сликата подолу). За да ја изведеме Бернулиевата равенка, ја применуваме теоремата за работа и енергија на флуидот во регионот на проточната цевка. Потоа, ќе ја пресметаме количината на флуид и работата извршена за движење на флуидот.
Непроѕирната боја во проточната цевка на сликата укажува на проток на течност, додека белата боја укажува на отсуство на течност.
Течноста во пресечната површина 1 (лева страна) тече на растојание L1 и ја принудува течноста во пресекот 2 (десна страна) да се помести на растојание L2 . Бидејќи пресечната површина 2 на десната страна е помала, брзината на проток на течноста на десната страна од проточната цевка е поголема (Запомнете ја равенката за континуитет). Ова предизвикува разлика во притисокот помеѓу пресекот 2 (десна страна од проточната цевка) и пресекот 1 (лева страна од проточната цевка) - Запомнете го Бернулиевиот принцип. Течноста на левата страна од пресекот 1 врши притисок P1 врз течноста на десната страна и ја извршува работата:
Тогаш равенката W1 може да се запише како:
W 1 = p 1 A 1 L 1
На пресекот 2 (десна страна од проточната цевка), работата што се извршува врз флуидот е:
W2 = − p2A2L2
Негативниот знак покажува дека применетата сила е спротивна од насоката на движење. Значи, флуидот врши работа десно од пресекот 2. Покрај тоа, силата на гравитацијата исто така врши работа врз флуидот. Во горенаведениот случај, одредена маса на флуид се движи од пресекот 1 до L1 до пресекот 2 до L2 , каде што волуменот на флуидот во пресекот 1 (A1L1 ) = волуменот на флуидот во пресекот 2 (A2L2 ) . Работата што ја врши гравитацијата е :
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Негативниот знак се должи на течењето на флуидот нагоре, спротивно од насоката на гравитацијата. Според тоа, вкупната работа извршена врз флуидот, како што е прикажано на сликата погоре, е:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Теоремата за работа-енергија наведува дека вкупната работа извршена на еден систем е еднаква на промената на неговата кинетичка енергија. Според тоа, можеме да ја замениме Работата (W) со промената на кинетичката енергија (EK2 - EK1 ).
Можеме да ја препишеме горенаведената равенка како:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Маса на флуид што тече на растојание L1 на пресек A1 = маса на флуид што тече на растојание L2 ( пресек A2 ) . Маса на флуид, да речеме m, има волумен од A1L1 и A2L2 каде што A1L1 = A2L2 ( L2 е подолг од L1 ).
Сега го заменуваме, или го заменуваме m во равенката погоре со m = ρ AL:
Ова е Бернулиевата равенка. Ја изведовме Бернулиевата равенка врз основа на принципот работа-енергија, па затоа е форма на Законот за зачувување на енергијата.
Информации:
P = Притисок
ρ = Густина на течноста
v = Брзина на проток на флуид
g = Забрзување поради гравитација
h = Висина на проточната цевка/цевката од површината на земјата
Левата и десната страна од равенката на Бернули погоре можат да се однесуваат на било кои две точки по должината на цевката за проток, па затоа можеме да ја препишеме равенката погоре како:
Оваа равенка наведува дека вкупниот збир на количините во равенката има иста вредност низ целата цевка за проток.
Сега да ја разгледаме Бернулиевата равенка за некои случаи.
Бернулиева равенка за флуиди во мирување
Посебен случај на Бернулиевата равенка е за флуиди во мирување (статички флуиди). Кога флуидот е во мирување, тој нема брзина. Според тоа, v 1 = v 2 = 0. Во случај на флуид во мирување, Бернулиевата равенка може да се формулира како:
Ако h2 - h1 = h, тогаш оваа равенка може да се запише како:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρgh
Бернулиева равенка за проточни цевки или цевки со иста висина
Ако висината на проточната цевка или цевката е иста, тогаш Бернулиевата равенка се менува во:
