Теорема на Торичели – проблеми и решенија

Теорема на Торичели – проблеми и решенија

1. Цевка со висина од 100 см полна со вода. Дупката Q се наоѓа на 10 см над земјата. Колкаво е хоризонталното растојание (x)?

Познато:

Растојание помеѓу дупката и површината на водата (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Барано: Растојание од x

Решение:

Брзината на протокот на вода во дупката

v = брзина , g = забрзување поради гравитација , h = растојание помеѓу дупката и површината на водата

Брзината на протокот на вода во дупката:

Време во воздух

Движењето на водата од дупката до земјата е движење на проектилотДвижењето на проектилот може да се разбере со анализа на хоризонталните и вертикалните компоненти на движењето одделно. Движењето x се случува со константна брзина, а движењето y се случува со константно забрзување на гравитацијата.

Во овој проблем, вертикалното движење се анализира како движење во слободен пад.

Пресметајте го времето поминато во воздух користејќи ја равенката за движење на слободен пад.

Познато:

Висината на дупката (y) = 10 cm = 0.1 m

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Барано: Временски интервал (t)

Решение:

y = 1/2 gt ^{​​​​2}

0.1 = 1/2 (10) ^t2

0.1 = 5 ^t2

т2 = ^0.1 / 5

t2 = ^0.02

t = √0.02 секунди

Хоризонтално растојание (x):

Познато:

Почетната брзина (v _o = v _ox ) = 3√2 m/s

Време во воздух (t) = √0.02 секунди

Барано: Хоризонтално растојание (x)

Решение:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 метри

2. Резервоар со вода со висина од 1 метар. Во точката P има дупка. Колкава е брзината на протокот на вода во дупката. Забрзувањето поради гравитацијата е 10 m/ ^s²?

Познато:

Растојание помеѓу дупката и површината на водата (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Барано: Брзина на протокот на вода кај дупката (v)

Решение:

Брзината на протокот на вода во дупката:

3. Големе-када содржи вода и има чешма како што е прикажано на сликата подолу. Ако g = 10 ms^-2, тогаш брзината на водата од чешмата е…

Познато:

Висина (в) = 85 см – 40 см = 45 см = 0.45 метри

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Се бара: Брзина на водата (v)

Решение:

Теоремата на Торичели наведува дека брзината на водата низ дупка оддалечена h од површината на водата е еднаква на брзината на слободно паѓање на водата од висина од h.

Брзината на водата се пресметува со помош на формулата за движење на слободен пад a v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

4. Када полна со вода и на ѕидот има дупка (видете ја сликата подолу ). Брзината на водата што излегува од дупката е… (g = 10 ms ^-2 )

Познато:

Висина (в) = 1.5 м – 0.25 м = 1.25 метри

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Се бара: Брзина на вода (v)

Решение:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

5. Резервоар со вода длабока до 1 метар (g = 10 ms ^-2 ) и на ѕидот има дупка за истекување (видете ја сликата подолу ). Брзината на водата што излегува од дупката е...

Познато:

Висина (в) = 1 м – 0.20 м = 0.8 метри

Забрзување поради гравитација (g) = 10 m/ ^s²

Се бара: Брзина на вода (v)

Решение:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

1. Што опишува теоремата на Торичели?
   • Одговор: Теоремата на Торичели ја поврзува брзината на флуидот што тече од отвор со висината на флуидниот столб над отворот, претпоставувајќи стабилен, невискозен (без вискозитет) и некомпресибилен проток.
2. Како математички се изразува теоремата на Торичели?
   • Одговор: Теоремата се изразува како v=√2gh​, Каде што $v$ е брзината на истекување, $g$ е забрзувањето поради гравитацијата, и $h$ е висината на течниот столб над отворот.
3. Под кои претпоставки е изведена теоремата на Торичели?
   • Одговор: Теоремата претпоставува дека флуидот е некомпресибилен и невискозен, протокот е стабилен и нема дополнителна енергија додадена или одземена од флуидот.
4. Ако еден сад има две дупки на различни длабочини, како ќе се споредат брзините на флуидите што излегуваат од дупките?
   • Одговор: Течноста што излегува од дупката поблиску до основата ќе има поголема брзина од течноста од повисоката дупка. Ова е затоа што притисокот (а со тоа и потенцијалната енергија) е поголем на поголеми длабочини.
5. Зошто брзината на истекување не зависи од обликот или пресечната површина на садот?
   • Одговор: Теоремата на Торичели ја зема предвид само потенцијалната енергија поради висината на течниот столб над отворот. Обликот на садот не ја менува оваа висина, па затоа брзината на истекување останува иста.
6. Како се разликува вистинската брзина на флуидот што тече од отворот од предвидувањето направено со теоремата на Торичели во ситуации од реалниот свет?
   • Одговор: Во реални ситуации, фактори како што се вискозитетот на течноста, турбуленцијата и обликот на отворот можат да влијаат на вистинската брзина, честопати правејќи ја помала од она што го предвидува теоремата на Торичели.
7. Каква е врската помеѓу теоремата на Торичели и зачувувањето на енергијата?
   • Одговор: Теоремата на Торичели е изведена од правилото за зачувување на механичката енергија. Таа ја изедначува потенцијалната енергија на површината на флуидот со кинетичката енергија на отворот.
8. Ако на самиот врв од сад исполнет со течност има отвор, како Торичелиовата теорема ја опишува брзината на истекување?
   • Одговор: Висината $h$ над отворот би била нула, па според теоремата на Торичели, брзината на истекување би била нула.
9. Како присуството на атмосферски притисок влијае врз предвидувањата на теоремата на Торичели?
   • Одговор: Теоремата на Торичели претпоставува дека садот е отворен кон атмосферата, и затоа атмосферскиот притисок дејствува подеднакво низ површината на флуидот. Овој притисок се поништува кога се зема предвид разликата во притисокот по висината на флуидот, па затоа теоремата останува валидна.
10. Што се случува со брзината на истекување кога се намалува количината на течност во садот?

• Одговор: Како што нивото на течноста се намалува, висината $h$ над отворот се намалува. Според теоремата на Торичели, брзината на истекување би се намалила како v=√2gh​.

Овие прашања и одговори ги истражуваат основите, импликациите и примените на теоремата на Торичели во динамиката на флуиди.