Материјал за множење точки со користење на единични векторски компоненти
Можеме директно да го пресметаме скаларниот производ ако ги знаеме x, y и z компонентите на векторите A и B (познатите вектори).
За да изведеме точкест производ на овој начин, прво изработуваме точкест производ на единичните вектори, по што ги изразуваме векторите А и Б во нивните компоненти, го разложуваме производот и го користиме производот на единичните вектори.
Единечните вектори i , j и k се нормални еден на друг, што ги олеснува пресметките. Користејќи ја скаларната равенка за множење добиена погоре ( AB = AB cos theta ), добиваме:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Сега ги изразуваме векторите А и Б преку нивните компоненти, го разложуваме нивниот производ и го користиме производот на единичните вектори.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Бидејќи i . i = j . j = k . k = 1 и i . j = i . k = j . k = 0, тогаш:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By y ( 1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Врз основа на резултатите од оваа пресметка, може да се заклучи дека скаларниот производ или точкестиот производ на два вектори е збир од производите на нивните слични компоненти.
Пример за прашање 1:
Голем вектор A dan B соодветно се 5 и 4, како што е прикажано на сликата подолу. Аголот што се формира е 90°o. Изброј го производ со точки двата вектори.
Дискусија
Пред да го пресметаме точкестиот производ на векторите А и Б, прво треба да ги знаеме компонентите на вториот вектор.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Б z = 0
Векторот А има векторски компоненти само на x-оската, а векторот Б има векторски компоненти само на y-оската. Компонентата z е нула бидејќи векторите А и Б се во xy-рамнината.
Сега го пресметуваме точкестиот производ помеѓу векторите A и B користејќи ја равенката за точкест производ со компонентни вектори:
А. Б = Аx Bx + AyBy + AzBz
А. Б = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Да го споредиме со првиот метод
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
АБ = (4) (5) (0)
АБ = 0
Резултатот е ист.
Пример за прашање 2:
Голем вектор A dan B се 5 и 4 соодветно, како што е прикажано на сликата подолу. Пресметајте производ со точки двата вектори, ако формираниот агол е 30°o
Дискусија
Пред да го пресметаме точкестиот производ на векторите А и Б, прво треба да ги знаеме компонентите на вториот вектор.
Компонентата z е нула бидејќи векторите A и B се во xy рамнината.
Сега го пресметуваме точкестиот производ помеѓу векторите A и B користејќи ја равенката за точкест производ со компонентни вектори:
Споредете со првиот метод.
