Fomba Trapezoidal amin'ny Integrals
Ao amin'ny matematika ampiharina, matetika isika no miatrika ny olana amin'ny fikajiana ny velarana eo ambanin'ny fiolahana. Ara-teoria, azo vahana amin'ny alàlan'ny integral voafaritra izany. Na izany aza, amin'ny fampiharana, tsy mora ampidirina amin'ny fomba famakafakana ny asa rehetra. Misy asa sarotra, ny angon-drakitra dia tsy misy afa-tsy amin'ny endrika tabilao, na ny modely tsy manana antiderivatives tsotra. Amin'ny toe-javatra toy izany, ny fomba nomerika dia lasa ilaina. Ny iray amin'ireo fomba nomerika malaza sy ampiasaina matetika indrindra dia ny fitsipika trapezoidal, teknika fanatonana ho an'ny integral izay mizara ny velarana eo ambanin'ny fiolahana ho endrika trapezoidal.
Hevitra fototra momba ny integral voafaritra
Ara-jeometrika, ny integral voafaritra \(\int_a^bf(x)\,dx\) dia azo takarina ho toy ny velarana voafehin'ny fiolahana \(y=f(x)\), ny axe \(x\), ary ny tsipika mitsangana \(x=a\) sy \(x=b\). Raha \(f(x)\ge 0\, dia velarana tsara ny integral. Raha manana sanda ratsy amin'ny elanelam-potoana iray ny asa, dia manome "velarana misy sonia" ny integral.
Ny olana lehibe dia mipoitra rehefa:
1. Ny asa \(f(x)\) dia tsy manana antiderivative izay azo aseho amin'ny alalan'ny asa fototra.
2. Ny sandan'ny \(f(x)\) dia tsy fantatra afa-tsy amin'ny fotoana sasany (angon-drakitra fanandramana).
3. Tsy mahomby na tsy azo atao ny kajy an'ohatra.
Eto no ampiasana ny fomba trapezoidal mba hanakaikezana ny sandan'ny integral amin'ny alàlan'ny fampiasana ny sandan'ny asa amin'ny teboka sasany.
Hevitra momba ny fomba trapezoidal
Ny fomba trapezoidaly dia manomboka amin'ny hevitra tsotra iray: manakaikeza tsipika mahitsy amin'ny elanelana tsirairay eo ambanin'ny tsipika mahitsy iray. Raha mampiasa lafiny mahitsizoro sy velaran-tany mahitsizoro ny fomba fitambaran'ny Riemann, ny fomba trapezoidaly kosa dia mampiasa teboka roa eo amin'ny elanelana ary mampifandray azy ireo amin'ny tsipika mahitsy. Ny velaran-tany eo ambanin'ny tsipika mahitsy dia mamorona trapezoidaly, fa tsy mahitsizoro.
Aoka hatao hoe te-hanisa isika:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Zaraintsika ho elanelana mitovy halava ny elanelana \([a,b]\) \(n\). Ny halavan'ny elanelana tsirairay dia:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Teboka fizarana:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\;x_n=b
\]
Miaraka amin'ny sandan'ny asa:
\[
f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_n)
\]
Amin'ny elanelana kely tsirairay \([x_{i-1}, x_i]\), ny velaran'ny trapezoid dia tombanana amin'ny velaran'ny trapezoid:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Avy eo dia azo ny velaran-tany manontolo (fanakaikezana integral) amin'ny fanampiana ny trapezoids rehetra:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Raha alamina tsara, dia lasa toy izao ny raikipohy momba ny fitsipika trapezoidaly mitambatra:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Mariho ny lamina misy ny koefisialy: ampitomboina 1 ny teboka farany \(x_0\) sy \(x_n\), raha ampitomboina 2 kosa ny teboka eo afovoany.
Ohatra amin'ny kajy tsotra
Aoka hatao hoe te hanatona isika:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Amin'ny famakafakana, ny integral dia \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Na izany aza, hampiasa ny fomba trapezoidal miaraka amin'ny \(n=4\) isika.
1. Elanelana \([0,2]\), dia:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Sanda fiasana:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Ampiasao ny raikipohy trapezoid mitambatra:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Ny vokatra eo amin'ny 2,75 eo ho eo dia tena akaiky ny sanda marina amin'ny 2,6667, miaraka amin'ny hadisoana eo amin'ny 0,0833 eo ho eo.
Fahadisoana amin'ny fomba Trapezoidal
Fomba fanatoniana ny fomba trapezoidaly, midika izany fa misy foana ny fahasamihafana eo amin'ny sanda manatoniana sy ny sanda tena izy. Ny haben'ny fahadisoana dia voataonan'ny:
1. Isan'ny elanelana kely \(n\): arakaraka ny maha-lehibe ny \(n\), ny maha-kely ny \(h\), ary amin'ny ankapobeny dia arakaraka ny maha-marina ny valiny.
2. Fiolahana amin'ny asa: raha tena miolikolika ny asa (manana derivative faharoa lehibe), dia mety tsy dia marina loatra ny fomba trapezoidal raha oharina amin'ny fomba ambony kokoa.
Ho an'ny asa milamina tsara (manana derivative faharoa mitohy), dia azo tombanana ny hadisoan'ny fomba trapezoidal mitambatra:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
ho an'ny \(\xi\) sasany eo anelanelan'ny \(a\) sy \(b\). Avy amin'ity raikipohy ity dia hita fa mifanandrify amin'ny \(h^2\ ny hadisoana. Izany hoe, raha ampitombointsika ho roa heny ny \(h\) (izany hoe, avo roa heny ny isan'ny elanelana kely), dia mihena eo amin'ny ampahefany eo ho eo ny hadisoana.
Tombony azo avy amin'ny fomba Trapezoidal
Malaza noho ny antony maro ny fomba trapezoidal:
1. Tsotra sy haingana
Mora ihany ny kajy, ary azo atao tanana mihitsy aza ho an'ny tranga madinidinika.
2. Azo ampiasaina amin'ny angon-drakitra tabilao
Raha toa ka amin'ny teboka mitokana ihany no fantatra ny sandan'ny \(f(x)\) (ohatra, ny valin'ny fandrefesana), dia azo ampiharina mivantana ity fomba ity.
3. Marina kokoa noho ny fomba mahitsizoro
Satria mampiasa teboka roa izy io ary manakaiky ny asa amin'ny tsipika mahitsy, dia amin'ny ankapobeny dia marina kokoa noho ny fanakaiky mahitsizoro ho an'ny isan'ny fizarazarana mitovy.
4. Azo ampiasaina amin'ny fampiharana injeniera maro
Maro ny olana ara-fizika sy injeniera (ohatra ny fikajiana ny asa, ny angovo, ny velaran'ny fizarana, ny fivoahan'ny herinaratra, sy ny sisa) azo vahana amin'ny alalan'ity fomba ity.
Famerana ny fomba Trapezoidal
Na dia mahasoa aza ity fomba ity dia misy fetrany ihany:
1. Tsy dia marina loatra ho an'ny asa miolikolika be
Satria mampiasa fanatonana mitongilana amin'ny elanelana tsirairay ihany izy, ny asa misy fiovana haingana na fiolahana maranitra dia mitaky \(n\) lehibe.
2. Tsy fomba avo lenta
Ireo fahadisoana milahatra amin'ny \(h^2\); ireo fomba hafa toy ny an'i Simpson dia mety hanome fahadisoana kely kokoa amin'ny isan'ny elanelana mitovy (raha toa ka milamina tsara ny fiasa).
3. Mora tohina amin'ny fisafidianana elanelam-potoana
Raha lehibe loatra ny elanelana ary kely ny \(n\), dia mety hiovaova be ny vokatra.
Penutup
Ny fomba fampidirana trapezoidaly dia iray amin'ireo teknika fototra indrindra amin'ny fampidirana nomerika. Amin'ny fizarana elanelana ho faritra kely sy fanoloana ny fiolahana amin'ny tsipika mahitsy amin'ny faritra tsirairay, dia afaka manakaiky ny integral isika nefa tsy mila mahita amin'ny fomba analitika ny antiderivative. Tsotra ny raikipohy, mora ampiharina, ary tena ilaina indrindra rehefa misaraka ny angona na sarotra ampidirina ny asa.
Na izany aza, ireo mpampiasa ny fomba trapezoidaly dia mila mandinika tsara ny isan'ny elanelana kely sy ny fihetsiky ny asa ampidirina. Ho an'ny asa miolikolika be na rehefa ilaina ny fahamarinan-toerana avo lenta, dia mbola azo ampiasaina amin'ny fampitomboana ny \(n\) ny fomba trapezoidaly, na azo dinihina ny fomba kajy hafa toy ny fomba Simpson na Romberg. Raha tsara ny fahatakarana azy, dia lasa fitaovana mahomby sy azo ampiharina amin'ny famahana olana isan-karazany amin'ny siansa, injeniera ary toekarena ny fomba trapezoidaly.
