Fampiasana raikipohy exponential
Ny raikipohy eksponensialy dia foto-kevitra matematika izay miseho matetika eo amin'ny fiainana andavanandro, na dia matetika aza isika no tsy mahatsapa izany. Rehefa miresaka momba ny fitomboan'ny mponina, ny zanabola mitambatra amin'ny kaonty tahiry, ny fiparitahan'ny viriosy, ny fahasimban'ny akora radioaktifa, ary na dia ny fitomboan'ny mpampiasa fampiharana nomerika aza isika, dia azo atao modely amin'ny fampiasana lamina mitovy amin'izany avokoa ireo rehetra ireo: fiovana izay "mitombo" rehefa mandeha ny fotoana. Io lamina io no toetra mampiavaka ny eksponensialy. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny famaritana ny raikipohy eksponensialy, ny endriny ankapobeny, ny fomba fampiasana azy, miaraka amin'ny ohatra fampiharana sy toro-hevitra hisorohana ny fahadisoana amin'ny kajy.
1. Inona no atao hoe eksponensialy?
Raha lazaina tsotra, ny exponentiation dia endrika kajy misy hery. Raha manoratra hoe \(a^n\ isika, dia antsoina hoe fototra ny \(a\) ary ny \(n\) dia antsoina hoe eksponent na hery. Ohatra tsotra iray: \(2^3 = 8\), izay midika hoe 2 ampitomboina intelo amin'ny tenany: \(2 \times 2 \times 2\).
Na izany aza, ao anatin'ny sehatry ny modely, ny "formula exponential" dia mazàna manondro asa iray izay mitombo na mihena ny sandany amin'ny alalan'ny anton-javatra raikitra mandritra ny fe-potoana iray. Ohatra, ny isa izay mitombo 10% isan-taona tsy tapaka dia midika fa ampitomboina 1,10 isan-taona ny sandany. Lamina exponential ity - tsy mitombo amin'ny habetsahana raikitra, fa amin'ny isan-jato raikitra.
2. Endrika ankapoben'ny raikipohy eksponensialy
Misy endrika roa amin'ny raikipohy eksponensialy izay matetika ampiasaina:
1) Fitomboana/fahasimbana mitokana (mifototra amin'ny fe-potoana iray)
\[
N(t) = N_0 x a^t
\]
Fampahafantarana:
– \(N(t)\): sandany amin'ny fotoana \(t\)
– \(N_0\): sanda voalohany
– \(a\): singa mampitombo isaky ny fe-potoana (ohatra: 1,10 raha mitombo 10%; 0,90 raha mihena 10%)
– \(t\): isan'ny fe-potoana (ohatra: taona, volana, andro)
2) Fitomboana/fihalovana mitohy (modely tahan'ny mitohy)
\[
N(t) = N_0 x e^{rt}
\]
Fampahafantarana:
– Ny \(e\) dia ny laharan'i Euler (eo amin'ny 2,71828 eo ho eo)
– tahan'ny fitomboana mitohy (mety ho tsara raha mitombo, ary ratsy raha mihena)
– fotoana \(t\)
Amin'ny tranga maro any an-tsekoly na amin'ny fampiasana tsotra azo ampiharina, dia ampy ny endrika misaraka \(N(t)=N_0 a^t\). Ny endrika mitohy dia mazàna ampiasaina amin'ny fanadihadiana lalina kokoa, ohatra amin'ny kajy, fizika, na modely epidemika.
3. Dingana fampiasana ny raikipohy eksponensialy
Mba hisorohana ny fisafotofotoana, araho ireto dingana ireto rehefa miasa amin'ny olana momba ny eksponensialy:
1) Fantaro ny sandan'ny \(N_0\) voalohany
Ity no vola tamin'ny fiandohan'ny fandinihana (taona 1, andro 0, sy ny sisa).
2) Fantaro raha fitomboana na fahasimbana izany.
– Fitomboana: mitombo ny sandany (antony \(a > 1\) na \(r>0\))
– Fahasimbana: mihakely ny sandany (factor \(0
5) Kajio ny valiny Ampiasao ny kajy raha lehibe ny eksponentany na misy isa desimaly. 4. Ohatra amin'ny fampiharana ny fitomboana eksponentaly Ohatra 1: Zanabola tsotra mitambatra Ny olona iray dia mitahiry Rp. 5.000.000 miaraka amin'ny tahan'ny zanabola 8% isan-taona, ny zanabola dia aloa ary ampiana amin'ny ambim-bola amin'ny faran'ny taona tsirairay (zanabola mitambatra). Inona ny ambim-bola aorian'ny 5 taona? Raha omena: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) Formula: \[ N(5) = 5.000.000 \times (1,08)^5 \] Sanda \((1,08)^5 \approx 1,4693\) Noho izany: \[ N(5) \approx 5.000.000 \times 1,4693 = 7.346.500 \] Ny ambiny dia eo amin'ny Rp7.346.500 eo ho eo (miankina amin'ny fanamafisam-peo). Ohatra 2: Fitomboan'ny mpampiasa fampiharana Manana mpampiasa 20.000 ny fampiharana iray. Mitombo 25% isam-bolana ny isan'ny mpampiasa. Firy ny isan'ny mpampiasa rehefa afaka 6 volana? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[ N(6) = 20.000 \in 1,25^6 \] Koa satria \(1,25^6 \approx 3,8147\), dia: \[ N(6) \in 20.000 \in 3,8147 = 76.294 \] Ka eo amin'ny 76.294 eo ho eo ny mpampiasa rehefa afaka 6 volana. 5. Ohatra amin'ny fampiharana ny fihenan'ny vidiny mivelatra Ohatra 3: Fihenan-danjan'ny entana (fihenan-danjan'ny vidiny) Mihena 12% isan-taona ny vidin'ny môtô iray mitentina Rp. 18.000.000. Inona ny sandany rehefa afaka 4 taona? - \(N_0 = 18.000.000\) - nihena 12% → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \times 0,88^4 \] Koa satria \(0,88^4 \approx 0,5997\), dia: \[ N(4) \approx 18.000.000 \times 0,5997 = 10.794.600 \] Manodidina ny Rp10.794.600 ny sandany. Ohatra 4: Fahasimban'ny akora iray Aoka hatao hoe mihena 5% isan'ora ny akora iray. Raha 200 grama izy io tamin'ny voalohany, ohatrinona no sisa tavela rehefa afaka 10 ora?
- \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \times 0,95^{10} \] Satria \(0,95^{10} \approx 0,5987\): \[ N(10)\approx 200 \times 0,5987 = 119,74 \] Eo amin'ny 119,74 grama eo ho eo sisa no tavela. 6. Famaritana ny fotoana (fitadiavana \(t\)) amin'ny alalan'ny logaritma Indraindray ny fanontaniana dia tsy ny sanda farany, fa ny hoe "hafiriana no ilaina". Mila logaritma isika noho izany. Raha: \[ N(t) = N_0 a^t \] dia: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] Raiso ny logaritma: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] Ohatra fohy: Mitombo 10% isan-taona ny tahiry. Rahoviana no hitombo avo roa heny izany? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] Ka eo amin'ny 7,27 taona eo ho eo izany. 7. Fahadisoana mahazatra rehefa mampiasa raikipohy eksponensialy 1) Fanovana diso ny isan-jato ho singa 10% fa tsy 0,10 ho fampitomboana lehibe, fa ho 1,10 ho an'ny fitomboana. 2) Singa fotoana diso Raha isam-bolana ny isan-jato, aza ampiasaina amin'ny taona tsy misy fiovam-po ny \(t\) 3) Fandikana diso ny fitomboana eksponensialy ho fitomboana lineary Ny lineary dia manampy "vola raikitra", ohatra, +5 isaky ny fe-potoana. Ny eksponensialy dia manampy "isan-jato raikitra", ka miha-lehibe ny fitomboana rehefa mandeha ny fotoana. 4) Fampihodinana aloha loatra Miezaha mitahiry isa sasany eo afovoan'ny kajy, ary ampihodina azy ireo amin'ny farany. 8. Famaranana Ny fampiasana raikipohy eksponensialy dia manampy antsika hahatakatra ny trangan-javatra izay miova eksponensialy rehefa mandeha ny fotoana. Amin'ny fahafantarana ny sanda voalohany \(N_0\), ny famaritana ny singa fitomboana/fahasimbana \(a\), ary ny fotoana \(t\), dia afaka maminavina ny sanda ho avy isika na manao kajy hoe hafiriana no hahatratrarana tanjona. Tena zava-dehibe amin'ny toekarena, siansa, teknolojia, ary lafiny maro amin'ny fiainana tena izy ity raikipohy ity. Ny zava-dehibe dia ny tsy fiovaovan'ny singa sy ny fahamarinan'ny fanovana ny isan-jato ho singa fototra. Rehefa voafehinao tsara ireo fototra dia ho mora kokoa sy mazava kokoa ny olana momba ny eksponensialy. Raha tianao dia afaka manampy olana fampiharana sy fanazavana aho, na mampifanaraka ity lahatsoratra ity amin'ny mpianatra any amin'ny sekoly ambaratonga fototra, ambaratonga faharoa, na ambaratonga faharoa.
