Endrika Kanonika amin'ny Equation Quadratic
Ny fampitoviana kuadratika dia iray amin'ireo lohahevitra manan-danja indrindra amin'ny aljebra, izay matetika hita amin'ny matematika any an-tsekoly sy amin'ny fampiharana amin'ny siansa, toekarena ary injeniera. Amin'ny ankapobeny, ny fampitoviana kuadratika dia fampitoviana polinômiana ambaratonga faharoa izay azo soratana toy izao:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
izay isa tena izy (na isa sarotra, miankina amin'ny teny manodidina) ny \(a \neq 0\), sy \(a\), \(b\), ary \(c\). Na dia matetika ampidirina aza ity endrika ankapobeny ity, dia misy endrika hafa tena ilaina amin'ny fahatakarana ny toetran'ny fampitoviana quadratic, dia ny endrika kanonika. Ny endrika kanonika dia manampy antsika "hamaky" haingana sy mazava kokoa ny toetran'ny parabola—toy ny vertex, ny sanda ambony indrindra/kely indrindra, ary ny axe of symmetry.
Inona no atao hoe endrika kanônika?
Ny endrika kanonika (matetika antsoina koa hoe endrika vertex) an'ny asa kuadratika dia:
\[
y = a(xh)^2 + k
\]
miaraka amin'ny:
– Ny \(a\) dia mamaritra ny lalana sy ny "fiolahana" an'ny parabola,
– Ny \((h, k)\) dia ny koordinate-n'ny tendron'ny parabola.
Raha toa ka fampitoviana quadratic (fa tsy function) no resahina dia azo soratana toy izao ny endriny:
\[
a(xh)^2 + k = 0
\]
na afindra amin'ny endrika asa raha ilaina. Antsoina hoe kanonika ity endrika ity satria manome ny fanehoana fampahafantarana indrindra ny endriky ny grafika sy ny fitondran-tenan'ny soatoavina asa.
Nahoana no zava-dehibe ny endrika kanonika?
Misy antony maromaro mahatonga ny endrika kanonika ho tena ilaina:
1. Fantaro mora foana ny teboka fara-tampony
Amin'ny endrika ankapobeny \(ax^2+bx+c\), tsy maintsy kajintsika aloha ny \(x_p = -\frac{b}{2a}\) mba hahitana ny tendrony. Na izany aza, amin'ny endrika kanonika \(a(xh)^2+k\), dia hita avy hatrany ny tendrony, izany hoe \((h, k)\).
2. Fantaro ny sanda ambony indrindra/ambany indrindra
Raha \(a>0\), dia misokatra miakatra ny parabola ka ny vertex no sanda farany ambany indrindra. Raha \(a<0\), dia misokatra midina ny parabola ka ny vertex no sanda farany ambony indrindra. Ny sanda farany dia \(k\). 3. Manamora ny fanaovana sary grafika Amin'ny fahafantarana ny vertex sy ny lalana izoran'ny parabola, dia afaka manao sary grafika haingana kokoa isika, anisan'izany ny famaritana ny axe de symmetry \(x=h\). 4. Manampy amin'ny famahana ny equations quadratique Amin'ny tranga sasany, ny famahana ny \(ax^2+bx+c=0\) dia haingana kokoa raha avadika ho endrika efamira tonga lafatra aloha amin'ny alàlan'ny endrika kanônika. Ahoana ny fanovana ny endrika ankapobeny ho endrika kanônika Ny fanovana ny \(ax^2+bx+c\) ho \(a(xh)^2+k\) dia atao amin'ny fomba famenoana ny efamira (famenoana ny efamira). Ireto avy ireo dingana: Raha omena: \[ y = ax^2 + bx + c \] Dingana 1: Ampidiro \(a\) avy amin'ny teny misy \(x\) \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \] Dingana 2: Ampio ary esory ireo isa mitovy ao anaty fononteny mba hanaovana efamira tonga lafatra Mba hanaovana \(x^2 + \frac{b}{a}x\) amin'ny endrika \((x+p)^2\), dia raisintsika ireto: \[ p = \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{2a} \] Ampio ary esory \(p^2\): \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] Dingana 3: Ampidiro ho efamira tonga lafatra \[ y = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] Dingana 4: Aparitaho \(a\) ary tsotsotra \[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] Satria: \[ a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = a\cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a} \] Avy eo: \[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] Ity no endrika kanonika miaraka amin'ny: \[ h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a} \] Mariho fa ny \(h\) dia mifanitsy amin'ny raikipohy ho an'ny axe de symmetry, raha ny \(k\) kosa dia manome ny sandan'ny asa eo amin'ny vertex. Ohatra amin'ny fanovana ho endrika kanonika Ohatra: \[ y = 2x^2 - 8x + 3 \] Dingana 1: Ampitomboy 2 avy amin'ny teny roa voalohany \[ y = 2(x^2 - 4x) + 3 \] Dingana 2: Fenoy ny efamira ao anatin'ny fononteny Makà antsasaky ny \(-4\), izay \(-2\), dia ataovy efamira mba hahazoana \(4\): \[ y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 \] Dingana 3: Endrika efamira tonga lafatra \[ y = 2((x-2)^2 - 4) + 3 \] Dingana 4: Tsotra \[ y = 2(x-2)^2 - 8 + 3 \] \[ y = 2(x-2)^2 - 5 \] Ka ny endrika kanonika dia: \[ y = 2(x-2)^2 - 5 \] Avy eto dia fantatsika avy hatrany fa ny tendrony dia \((2, -5)\), ny axe de symmetry dia \(x=2\), ny parabole dia misokatra miakatra (satria \(a=2>0\)), ary ny sandan'ny fonction kely indrindra dia \(-5\).
Ny fifandraisana misy eo amin'ny endrika kanonika sy ny fakany amin'ny fampitoviana
Raha te hahita ny fakany amin'ny fampitoviana quadratic isika:
\[
ax^2+bx+c=0
\]
Azontsika ovaina ho endrika kanonika izany:
\[
a(xh)^2 + k = 0
\]
Koa:
\[
a(xh)^2 = -k
\]
\[
(xh)^2 = -\frac{k}{a}
\]
Dia:
\[
xh = \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}
\]
\[
x = h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}
\]
Avy amin'izany dia hita fa misy fotony tena izy raha toa ka:
\[
-\frac{k}{a} \ge 0
\]
izay mifanaraka amin'ny foto-kevitry ny fanavahana. Ny fanavahana \(D = b^2-4ac\) dia mamaritra raha misy faka tena izy roa, faka kambana iray, na tsy misy faka tena izy. Amin'ny endrika kanonika, ity toe-javatra ity dia mipoitra ho azy amin'ny alàlan'ny famantarana ny fanehoana ao anatin'ny faka.
Endrika kanonika sy fahatakarana grafika
Parabola ny grafikan'ny asa kadratika. Amin'ny endrika kanonika:
\[
y = a(xh)^2 + k
\]
azontsika takarina ny fiovan'ny parabola mahazatra \(y=x^2\):
– Ny \(h\) dia mamindra ny grafika miankavanana (raha \(h>0\)) na miankavia (raha \(h<0\)), - Ny \(k\) dia mamindra ny grafika miakatra (raha \(k>0\)) na midina (raha \(k<0\)), - Ny \(a\) dia manitatra na manindry ny parabola ary mamaritra ny lalana fisokafana (miakatra raha \(a>0\), midina raha \(a<0\)). Noho izany, ny endrika kanonika dia tsy fitaovana kajy fotsiny ihany, fa fitaovana hita maso ihany koa ho an'ny "famakiana" ny fihetsiky ny asa. Famaranana Ny endrika kanonika amin'ny fampitoviana na asa quadratic, izany hoe \(y = a(xh)^2 + k\), dia fanehoana tena mampahafantatra satria mampiseho avy hatrany ny tendron'ny \((h,k)\), ny axe symmetry, ary ny sanda ambony indrindra na ambany indrindra. Ity endrika ity dia azo avy amin'ny endrika ankapobeny \(ax^2+bx+c\) amin'ny alàlan'ny fomba famenoana ny efamira. Ankoatra ny fanampiana amin'ny fanaovana grafika parabola, ny endrika kanonika dia manamora ny famakafakana ny fakany sy ny toetran'ny fampitoviana kuadratika. Noho izany antony izany, ny fahatakarana ny endrika kanonika dia dingana tena ilaina amin'ny fifehezana ny algebra sy ny fampiharana ny fampitoviana kuadratika amin'ny sehatra isan-karazany.
