Ohatra amin'ny fanontaniana momba ny fifanakalozan-kevitra momba ny vektôra roa refy ao anaty rafitra fandrindrana
Ny vektôra dia habe iray izay sady manana ny halehibe no manana ny lalana. Matetika ampiasaina amin'ny lohahevitra matematika sy fizika isan-karazany ny vektôra mba hanehoana trangan-javatra isan-karazany. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka ohatra amin'ny vektôra roa refy ao anaty rafitra fandrindrana isika.
Hevitra fototra momba ny Vektera ao amin'ny Rafitra Fandrindrana
Azo aseho toy izao ny vektôra ao anatin'ny rafitra fandrindrana roa refy: \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), izay ny \(a_1\) no singa-x an'ny vektôra ary ny \(a_2\) no singa-y an'ny vektôra. Azo zaraina ho singa roa ny vektôra, dia ny singa-x sy ny singa-y.
Fanampiana sy fanalana Vektera
Ny fanampiana vektôra roa \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) sy \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) dia:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Raha ny fihenana dia:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Fampitomboana Skalara
Raha scalar ny \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ary scalar ny \(k\), dia toy izao ny \(k\vec{A}\):
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Haben'ny Vector
Ny haben'ny na ny halavan'ny vektôra \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) dia:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Vektera singa
Ny vektôra iray dia vektôra manana halavana iray vektôra. Ny vektôra iray an'ny \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) dia:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Fanontaniana 1: Fanampiana sy fanalana ny Vektera
Ireto misy vektôra roa omena toy izao manaraka izao: \(\vec{A} = (3, 4)\) ary \(\vec{B} = (1, 2)\). Tadiavo ny vokatry ny \(\vec{A} + \vec{B}\) sy \(\vec{A} – \vec{B}\).
Dinika:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Fanontaniana 2: Fampitomboana Skalar
Raha jerena ny vektôra \(\vec{C} = (2, -3)\), kajy ny \(3\vec{C}\) sy ny \(-2\vec{C}\).
Dinika:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Fanontaniana 3: Haben'ny Vektera
Kajio ny haben'ny vektôra \(\vec{D} = (5, 12)\).
Dinika:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Fanontaniana 4: Vektera singa
Tadiavo ny vektôra singa an'ny vektôra \(\vec{E} = (4, 3)\).
Dinika:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Fanontaniana 5: Toerana sy halaviran'ny Vektera
Teboka roa ao amin'ny fiaramanidina fandrindrana roa refy dia ny P(2, 3) sy ny Q(5, 7). Farito ny vektôra toerana manomboka amin'ny teboka P mankany amin'ny teboka Q ary ny elanelana misy eo amin'izy ireo.
Dinika:
Ny vecteur toerana avy amin'ny P mankany Q dia:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Ny elanelana misy eo amin'ny teboka P sy Q dia:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Fanontaniana 6: Vokatra avy amin'ny vokatra teboka
Raha \(\vec{F} = (-3, 4)\) ary \(\vec{G} = (2, 1)\), kajy ny vokatra teboka an'ny \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
Dinika:
Ny vokatra teboka amin'ny vektôra roa dia:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Fanontaniana 7: Zoro eo anelanelan'ny Vektera roa
Raha \(\vec{H} = (7, -4)\) ary \(\vec{I} = (3, 0)\), dia farito ny zoro misy eo amin'ireo vektôra roa.
Dinika:
Mba hamaritana ny zoro eo anelanelan'ny vektôra roa dia mampiasa ny raikipohy isika:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Voalohany, kajy ny vokatra teboka \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Avy eo, kajy ny haben'ny \(\vec{H}\) sy \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Ampidiro ao amin'ny raikipohy ireto soatoavina ireto:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Koa, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Fanontaniana 8: Fampisehoana Vektera
Ho an'ny vektôra \(\vec{J} = (2, 1)\) sy \(\vec{K} = (-1, 3)\), kajy ny vinavinan'ny \(\vec{J}\) eo amin'ny \(\vec{K}\).
Dinika:
Ny vinavina an'ny \(\vec{J}\) amin'ny \(\vec{K}\) dia:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Voalohany, kajy ny vokatra teboka \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Dia toy izao ny haben'ny \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Amin'izay mba,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Ampidiro ao amin'ny raikipohy:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Ireto misy ohatra amin'ny olana sy fifanakalozan-kevitra mifandraika amin'ny vektôra roa refy ao anaty rafitra fandrindrana. Ny fahatakarana tsara ny vektôra dia mety hanampy amin'ny fampiharana maro amin'ny matematika, fizika ary injeniera. Ny fampiharana amin'ny ohatra isan-karazany dia afaka mampitombo ny fahatakaranao an'io foto-kevitra io, ka mamela azy io hampiharina tsara amin'ny toe-javatra isan-karazany.
