Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny derivatives function
Ny derivative dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy izay mitana anjara toerana lehibe amin'ny fampiharana isan-karazany amin'ny matematika, fizika, injeniera ary siansa hafa. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka ohatra maromaro momba ny derivative sy ny vahaolana amin'izy ireo isika. Ny fahatakarana ny foto-kevitry ny derivative dia hanamora ny fampiharana azy amin'ny olana isan-karazany.
Fahatakarana fototra momba ny Derivatives
Ny derivative an'ny asa iray dia mamaritra ny tahan'ny fiovan'ny asa raha oharina amin'ny fiovaovan'ny tsy miankina. Raha ny mahazatra, ny derivative an'ny asa \( f(x) \) eo amin'ny teboka \( x \) dia ny fiolahana amin'ny tsipika tangent amin'ny fiolahana \( f \) eo amin'ny teboka \( x \). Ny fanamarihana mahazatra ampiasaina amin'ny derivative dia \( f'(x) \) na \( \frac{df}{dx} \).
Fitsipika fototra momba ny derivatives
Mba hamahana ny olana amin'ny derivative, mila mahafantatra fitsipika fototra momba ny derivatives isika:
1. Teny nalaina tsy miova: Raha tsy miova ny \( c \), dia aotra ny teny nalaina avy amin'ny \( c \).
\[
\frac{d}{dx}(c) = 0
\]
2. Teny nalaina avy amin'ny asa Linear: Raha toa ka \( f(x) = mx + b \), izay tsy miovaova ny \( m \) sy \( b \), dia:
\[
f'(x) = m
\]
3. Fitsipika momba ny hery: Raha toa ka \( f(x) = x^n \), izay isa tena izy ny \( n \), dia:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
4. Fitsipika momba ny fitambaran'isa: Raha \( f(x) = g(x) + h(x) \), dia:
\[
f'(x) = g'(x) + h'(x)
\]
5. Fitsipika fampitomboana: Raha \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), dia:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
\]
6. Fitsipika momba ny fizarana: Raha \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), dia:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) – g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\]
7. Fitsipika momba ny rojo: Raha \( f(x) = g(h(x)) \), dia:
\[
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
\]
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1
Fanontaniana: Fantaro ny derivative an'ny \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \).
Dinika:
Mba hamaritana ny derivative an'ilay asa dia hampiasa ny fitsipika power sy ny fitsipika sum isika.
\[
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
\]
Ireo derivatives dia:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)
\]
Mifototra amin'ny fitsipiky ny laharana:
\[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot 1x^{1-1} = 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(1) = 0
\]
Noho izany, ny derivative an'ny function \( f \) dia:
\[
f'(x) = 6x + 2
\]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2
Fanontaniana: Fantaro ny derivative an'ny asa \( g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3) \).
Dinika:
Mba hamahana ity olana ity dia hampiasa ny fitsipiky ny fampitomboana isika.
\[
g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)
\]
Noho izany, ny derivative an'ny \( g(x) \) dia:
\[
g'(x) = (2x^3 – x)'(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(x^2 + 3)'
\]
Voalohany, farito ny derivative an'ny asa tsirairay:
\[
(2x^3 – x)' = 6x^2 – 1
\]
\[
(x^2 + 3)' = 2x
\]
Avy eo dia solointsika amin'ny raikipohy izany:
\[
g'(x) = (6x^2 – 1)(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(2x)
\]
Manaraka izany, mizara izahay:
\[
g'(x) = 6x^2 \cdot x^2 + 6x^2 \cdot 3 – 1 \cdot x^2 – 1 \cdot 3 + 2x^3 \cdot 2x – x \cdot 2x
\]
\[
g'(x) = 6x^4 + 18x^2 – x^2 – 3 + 4x^4 – 2x^2
\]
Farany, azontsika:
\[
g'(x) = 10x^4 + 15x^2 – 3
\]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3
Fanontaniana: Tadiavo ny derivative an'ny \( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \).
Dinika:
Mba hamahana ity olana ity dia hampiasa ny fitsipiky ny fizarana isika.
\[
h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1}
\]
Noho izany, ny derivative an'ny \( h(x) \) dia:
\[
h'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x – 1) – (x^2 + 1)(x – 1)'}{(x – 1)^2}
\]
Voalohany, farito ny derivative an'ny asa tsirairay:
\[
(x^2 + 1)' = 2x
\]
\[
(x – 1)' = 1
\]
Avy eo dia solointsika amin'ny raikipohy izany:
\[
h'(x) = \frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)(1)}{(x – 1)^2}
\]
Manaraka izany, mizara izahay:
\[
h'(x) = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}
\]
Dia tsorinay avy eo:
\[
h'(x) = \frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}
\]
Famaranana
Ny derivative an'ny fonction iray dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy izay manome fampahalalana momba ny tahan'ny fiovan'ny sandan'ny fonction iray raha oharina amin'ny variable tsy miankina aminy. Amin'ny fahatakarana ny fitsipika fototra momba ny derivation, toy ny derivative an'ny constant, functions linear, ny power rule, ny total, ny fampitomboana ary ny fizarana, ary ny rojo, dia afaka mamaha olana derivative isan-karazany isika.
Ireo ohatra olana noresahina etsy ambony ireo dia dingana voalohany tsara amin'ny fahatakarana ny fomba fampiharana ny foto-kevitry ny derivatives. Amin'ny fampiharana, ny fahaiza-manao amin'ny fikajiana ny derivatives dia hohatsaraina bebe kokoa amin'ny alàlan'ny fiasana amin'ny karazana olana sy fiovaovan'ny asa isan-karazany. Antenaina fa ity lahatsoratra ity dia nanampy tamin'ny fahatakarana sy ny fifehezana ny foto-kevitry ny derivative an'ny asa iray.
