Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny toetran'ny integral voafaritra
Ny integral voafaritra dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, tena ilaina amin'ny fampiharana isan-karazany amin'ny matematika, fizika ary injeniera. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hanazava toetra manan-danja sasany amin'ny integral voafaritra izahay ary hanome ohatra sy vahaolana mba hampitomboana ny fahatakaranao momba io lohahevitra io.
Toetran'ny Integraly voafaritra
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo ohatra amin'ny olana, andeha hojerentsika ny toetra fototra sasany amin'ny integral voafaritra izay zava-dehibe ho fantatra:
1. Toetra Linearity:
– Raha toa ka fonction azo ampidirina ny \( f(x) \) sy \( g(x) \) ary tsy miovaova ny \( a \) sy \( b \), dia:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Fampiraisana ny tsy miovaova:
– Raha toa ka tsy miovaova ny \( c \), dia:
\[
►a^bc\, dx = c(b – a).
\]
3. Toetran'ny fanampiana elanelana:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Famadihana ny fetra:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Aotra amin'ny fetra mitovy:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Ohatra Fanontaniana 1: Fampiasana ny Toetra Linearity
Ohatra amin'ny olana:
Kajy ny sandan'ny:
\[
0^2 (3x^2 + 2x) dx
\]
Dinika:
Ampiasao ny toetra linearity mba hanasarahana ny integral ho roa:
\[
0^2 (3x^2 + 2x) , dx = 0^2 3x^2 , dx + 0^2 2x , dx
\]
Andeha hojerentsika ny integral voalohany:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
Ankehitriny, kajintsika ny integral faharoa:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 (1 – 0)
\]
\[
= 2
\]
Ampifandraiso ireo vokatra roa ireo:
\[
0^2 (3x^2 + 2x), dx = 8 + 2 = 10
\]
Ohatra Fanontaniana 2: Integral an'ny Constant
Ohatra amin'ny olana:
Kajy ny sandan'ny:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Dinika:
Amin'ny fampiasana ny toetra integral an'ny constants, dia afaka manoratra isika hoe:
\[
1^4 5, dx = 5 (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Ohatra Fanontaniana 3: Toetran'ny Fiovan'ny Fetra
Ohatra amin'ny olana:
Porofoy fa:
\[
2^5 x^2 \, dx = – 5^2 x^2 \, dx
\]
Dinika:
Atombontsika amin'ny integral an'ny \( x^2 \) eo amin'ny elanelam-potoana \( [2, 5] \):
\[
2^5 x^2, dx = 2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Andeha isika izao hikajy ny integral an'ny \( x^2 \) eo amin'ny elanelam-potoana \( [5, 2] \) ary ataovy izay hamadihana ny famantarana ny valiny:
\[
5^2 x^2, dx = 5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Voaporofo fa:
\[
2^5 x^2 \, dx = – 5^2 x^2 \, dx.
\]
Ohatra Fanontaniana 4: Toetran'ny Fanampiana Elanelana
Ohatra amin'ny olana:
Raha fantatra ny \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) sy ny \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\), dia kajy ny sandan'ny \(\int_2^6 f(x) \, dx\).
Dinika:
Mampiasa ny toetra fanampiana elanelana:
\[
2^6 f(x) \, dx = 2^4 f(x) \, dx + 4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Famaranana
Manana toetra manan-danja maro ny integral voafaritra izay afaka manampy antsika hamaha karazana olana isan-karazany amin'ny fomba mahomby kokoa. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia noresahintsika ny sasany amin'ireo toetra fototra ireo ary nanome ohatra mampiseho ny fomba azo ampiharina ireo toetra ireo. Raha ampy ny fahatakarana sy ny fampiharana, dia ho afaka hamaha olana integral voafaritra amim-pahatokiana kokoa ianao.
