Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fetran'ny asa trigonometrika
Pendahuan
Ny fetran'ny asa iray dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, izay mamaritra ny sandan'ny asa iray rehefa manakaiky sanda iray ny fiovaovany. Ato amin'ity fifanakalozan-kevitra ity, dia hifantoka amin'ny fetran'ny asa trigonometrika isika, izay matetika miseho amin'ny fampiharana matematika isan-karazany, anisan'izany ny fizika, ny injeniera ary ny siansa informatika.
Ireo asa trigonometrika toy ny sin(x), cos(x), ary tan(x) dia manana toetra miavaka izay mahatonga ny kajikajiny ho mahaliana. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny olana maromaro mifandraika amin'ny fetran'ny asa trigonometrika, miaraka amin'ny fanazavana amin'ny antsipiriany.
Ohatra Fanontaniana 1: Fetra Sine
Fanontaniana:
Kajio ny fetra \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x}\).
Dinika:
Ity fetra ity dia iray amin'ireo fetra fototra amin'ny trigonometria ary matetika ampiasaina amin'ny porofo sy teôrema isan-karazany amin'ny kajy. Afaka mampiasa ny Fitsipiky ny L'Hôpital na ny famaritana ny fetra isika hamahana ity olana ity.
Fampiasana ny famaritana ny fetra:
Fantatra fa \( \sin x \approx x \) rehefa manakaiky ny 0 ny \( x \) (mampiasa ny fanakaikezan'i Taylor). Noho izany,
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x}{x} = 1.
\]
Mampiasa ny fitsipiky ny L'Hopital:
Koa satria ny endriky ny fetra dia \(\frac{0}{0}\), dia afaka mampiasa ny Fitsipiky ny L'Hopital isika amin'ny fanavahana ny mpanisa sy ny mpizara.
\[
lim_{{x 0}} \frac{{\sin x}}{x} = lim_{{x 0}} \frac{{\frac{d}{dx} (\sin x)}}{{\frac{d}{dx} (x)}} = lim_{{x 0}} \frac{{\cos x}}{1} = cos(0) = 1.
\]
Koa, ny vokatra dia 1.
Ohatra Fanontaniana 2: Fetran'ny Cosine
Fanontaniana:
Kajio ny fetra \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2}\).
Dinika:
Mba hamahana ity fetra ity dia afaka mampiasa ny maha-izy azy trigonometrika isika na fomba fiasa mivantana amin'ny alàlan'ny Fitsipiky ny L'Hopital.
Fampiasana ny maha-izy azy trigonometrika:
Tsaroantsika ny maha-izy azy izay:
\[ 1 – \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right). \]
Ka lasa toy izao ny fetra:
\[
lim_{{x 0}} 1 – ...
\]
Amin'ny alalan'ny fanoloana \( u = \frac{x}{2} \), dia miova ho \( x = 2u \) ny fetra:
\[
\lim_{{u \to 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{(2u)^2} = \lim_{{u \to 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{4u^2} = \frac{1}{2} \lim_{{u \to 0}} \left( \frac{\sin u}{u} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot{2 \sin^2(u)}{(2u)^2 = \frac{1}{2} \cdot{1^2 = \frac{1}{2}.
\]
Mampiasa ny fitsipiky ny L'Hopital:
Ny endrika dia \(\frac{0}{0}\), ka azontsika ampiasaina ny Fitsipiky ny L'Hopital:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}.
\]
Koa, ny vokatra dia \( \frac{1}{2} \).
Ohatra Fanontaniana 3: Fetra Tangent
Fanontaniana:
Kajio ny fetra \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x}\).
Dinika:
Ity endrika ity dia misy ny asa \(\frac{\sin x}{\cos x}\), ary mitaky ny fampiasana ireo fetra fototra noresahintsika teo aloha.
\[
lim_{{x 0}} \frac{\tan x}{x} = lim_{{x 0}} \frac{\sin x / \cos x}{x} = lim_{{x 0}} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}
\]
Fantatsika avy amin'ny fetra fototra fa:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = 1.
\]
Koa, ny vokatra dia:
\[
1 \cdot 1 = 1.
\]
Ny vokatra dia 1.
Ohatra 4: Fetra sarotra misy Sine sy Cosine
Fanontaniana:
Kajio ny fetra \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(2x)}{\cos(3x) – 1}\).
Dinika:
Ny endrika dia \(\frac{0}{0}\), ka azontsika ampiasaina ny Fitsipiky ny L'Hopital:
\[
lim_{{x 0}} \frac{\sin(2x)}{\cos(3x) – 1} = lim_{{x 0}} \frac{2 \cos(2x)}{-3 \sin(3x)}.
\]
Ity endrika ity indray dia \(\frac{0}{0}\), ka azontsika ampiasaina indray ny Fitsipiky ny L'Hopital:
\[
= \lim_{{x \to 0}} \frac{-4 \sin(2x)}{-9 \cos(3x)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{4 \sin(2x)}{9 \cos(3x)}.
\]
Koa satria ny \(\sin(2x) \approx 2x\) sy \(\cos(3x) \approx 1\) rehefa manakaiky ny 0:
\[
\frac{4 \cdot 0}{9 \cdot 1} = 0.
\]
Ny vokatra farany dia 0.
Famaranana
Amin'ny alalan'ireo ohatra samihafa etsy ambony ireo, dia afaka mahita ny fomba fampiasana fomba fiasa samihafa isika mba hikajiana ny fetran'ny asa trigonometrika. Ny fampiasana ny maha-izy azy trigonometrika, ny fanoloana, ary ny fitsipiky ny L'Hôpital dia mety hanampy betsaka amin'ny famahana olana mifandraika amin'ny fetra.
Tena ilaina amin'ny kajy ny fahatakarana lalina ny fetra fototra toy ny \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = 1\) sy ny teknikan'ny fanavahana miverimberina. Amin'ny alalan'ny fampiharana bebe kokoa, dia ho lasa mahay kokoa amin'ny fiatrehana karazana olana isan-karazany momba ny fetran'ny asa trigonometrika ny mpianatra.
