Ohatra amin'ny Fanontaniana sy Fifanakalozan-kevitra: Famaritana ny Integral tsy voafaritra
Ny integral tsy voafaritra dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, ampiasaina hahitana ny antiderivative an'ny asa iray. Fantatra ihany koa amin'ny hoe antidifferentiation izy io. Ato amin'ity lahatsoratra ity, hiresaka ohatra maromaro momba ny integral tsy voafaritra isika, miaraka amin'ny fanazavana, mba hahatakarana bebe kokoa ity foto-kevitra ity.
Fahatakarana ny integral tsy voafaritra
Ny integral tsy voafaritra dia ny dingan'ny fitadiavana ny asa tany am-boalohany \( F(x) \) avy amin'ny derivative \( f(x) \), izay asehon'ny:
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
izay \( C \) dia tsy miovaova integral. Mitranga io tsy miovaova io satria aotra ny derivative an'ny tsy miovaova, ka amin'ny dingana anti-differentiation, dia tsy maintsy dinihintsika ny mety hisian'ny tsy miovaova toy izany.
Raikipohy fototra ho an'ny integral tsy voafaritra
Ireto misy raikipohy fototra sasany izay matetika ampiasaina amin'ny integral tsy voafaritra:
1. \[ \int k \, dx = kx + C \]
izay tsy miovaova ny \( k \).
2. \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
ho an'ny \( n \neq -1 \).
3. \[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
4. \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]
izay isa tena izy miabo ny \(a \) ary ny \(a \neq 1 \).
5. \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
6. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
7. \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Ohatra amin'ny olana integral tsy voafaritra sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo
Ohatra 1
Fanontaniana:
Kajio ny integral tsy voafaritra an'ny \( f(x) = 3x^2 \).
Dinika:
Mba hamahana ity integral ity dia mampiasa ny raikipohy fototra momba ny integral ho an'ny asa amin'ny endrika \( x^n \) isika:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Amin'ity tranga ity, manana \( f(x) = 3x^2 \ isika, izay \( k = 3 \) ary \( n = 2 \). Dia:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^{3}}{3} \right) + C = x^3 + C \]
Koa, \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Ohatra 2
Fanontaniana:
Kajio ny integral tsy voafaritra an'ny \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Dinika:
Ny integral an'ny \( \frac{1}{x} \) mifototra amin'ny raikipohy fototra dia:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Koa, \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \).
Ohatra 3
Fanontaniana:
Kajio ny integral tsy voafaritra an'ny \( f(x) = e^x \).
Dinika:
Ny integral an'ny \( e^x \) mifototra amin'ny raikipohy fototra dia:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Koa, \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
Ohatra 4
Fanontaniana:
Kajy ny integral tsy voafaritra an'ny \( \sin x \).
Dinika:
Ny integral an'ny \( \sin x \) mifototra amin'ny raikipohy fototra dia:
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Noho izany, \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \).
Ohatra 5
Fanontaniana:
Kajy ny integral tsy voafaritra an'ny \( \cos x \).
Dinika:
Ny integral an'ny \( \cos x \) mifototra amin'ny raikipohy fototra dia:
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Noho izany, \( \cos x \, dx = \sin x + C \).
Ohatra 6
Fanontaniana:
Kajio ny integral tsy voafaritra an'ny \( 5x^{-3} \).
Dinika:
Mba hamahana ity integral ity dia mampiasa ny raikipohy fototra momba ny integral ho an'ny asa amin'ny endrika \( x^n \) isika:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Amin'ity tranga ity, manana \( f(x) = 5x^{-3} \ isika, izay \( k = 5 \) ary \( n = -3 \). Dia:
\[ \int 5x^{-3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx = 5 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \]
Koa, \( \int 5x^{-3} \, dx = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \).
Ohatra 7
Fanontaniana:
Kajio ny integral tsy voafaritra an'ny \( 4e^{2x} \).
Dinika:
Mba hamahana ity integral ity dia mila mampiasa ny singa \( u \) isika. Andeha hapetratsika \( u = 2x \) mba ho \( du = 2dx \), na \( dx = \frac{du}{2} \).
\[ \int 4e^{2x} \, dx = 4 \int e^{u} \, \frac{du}{2} = 2 \int e^{u} \, du \]
Ankehitriny, ny integral an'ny \( e^u \) dia \( e^u \):
\[ 2 \int e^u \, du = 2e^u + C \]
Miverina amin'ny variables tany am-boalohany:
\[ 2e^u + C = 2e^{2x} + C \]
Koa, \( \int 4e^{2x} \, dx = 2e^{2x} + C \).
Fampiharana ny integral tsy voafaritra
Miely patrana ny fampiharana ny integral tsy voafaritra amin'ny siansa sy ny injeniera. Ohatra, amin'ny fizika, ny integral tsy voafaritra dia ampiasaina mba hahitana ny halavirana nalehan'ny zavatra iray rehefa fantatra ny hafainganam-pandehany raha oharina amin'ny fotoana. Amin'ny toekarena, ny integral tsy voafaritra dia azo ampiasaina mba hahitana ny totalin'ny fandaniana na ny tombombarotra rehefa fantatra ny tahan'ny fiovan'ny fandaniana na ny tombombarotra isaky ny singa.
Famaranana
Ny integral tsy voafaritra dia foto-kevitra manan-danja amin'ny kajy, ampiasaina hahitana ireo antiderivatives amin'ny asa. Ny fahatakarana ireo raikipohy integral fototra isan-karazany dia tena ilaina amin'ny famahana olana mifandraika amin'ny integral tsy voafaritra. Amin'ny fampiharana ampy amin'ny fampiasana ohatra toy ireo noresahina etsy ambony, dia afaka mahafehy ny teknikan'ny integral tsy voafaritra ny olona iray. Ny foto-kevitry ny integral tsy voafaritra dia tsy vitan'ny hoe manana lanja ara-teorika fa azo ampiharina ihany koa amin'ny sehatry ny siansa isan-karazany.
