Bernulli principa un vienādojumu materiāls
Kad braucam ar motociklu diezgan ātri, mūsu apģērbs uzpūšas aizmugurē. Ja vēl neprotat braukt ar motociklu, pievērsiet uzmanību saviem vecākiem vai draugiem, kuri brauc ar motocikliem. Viņu apģērba mugurpuse parasti uzpūšas aizmugurē, kad motocikls brauc ātri. Dažreiz, kad pūš stiprs vējš, mājas durvis var pašas aizvērties. Pat ja vējš pūš ārpus mājas, kamēr durvis ir mājas iekšpusē.
To var izskaidrot, izmantojot Bernulli principu. Daniels Bernulli (1700–1782) atklāja principu, ko var izmantot, lai izskaidrotu dažas no iepriekš minētajām lietām.
Bernulli princips
Bernulli princips nosaka, ka vietās, kur šķidruma plūsmas ātrums ir liels, šķidruma spiediens ir zems. Un otrādi, ja šķidruma plūsmas ātrums ir mazs, spiediens kļūst augsts. Kad motocikls pārvietojas ātri, gaisa ātrums jūsu ķermeņa priekšā un blakus ir liels. Tādējādi gaisa spiediens kļūst zems. Ķermeņa aizmuguri bloķē ķermeņa priekšpuse, tāpēc gaisa ātrums aiz ķermeņa nemainās uz lielu (tieši aiz ķermeņa). Tā rezultātā gaisa spiediens aiz ķermeņa kļūst lielāks. Tā kā pastāv gaisa spiediena atšķirība, kur gaisa spiediens tieši aiz ķermeņa ir lielāks, gaiss spiež jūsu kreklu atpakaļ, radot iespaidu, ka tas ir uzpūsts aizmugurē.
Kā ar durvīm, kas pašas aizveras, kad ārā pūš stiprs vējš? Gaiss ārpusē pārvietojas ātrāk nekā gaiss iekšpusē. Tā rezultātā gaisa spiediens ārpusē ir zemāks nekā gaisa spiediens iekšpusē. Šīs spiediena starpības dēļ, kur gaisa spiediens iekšpusē ir augstāks, durvis tiek spiestas uz āru. Citiem vārdiem sakot, durvis pārvietojas no vietas ar augstāku gaisa spiedienu uz vietu ar zemāku gaisa spiedienu.
Bernulli vienādojums
Iepriekš mēs uzzinājām par Bernulli principu. Bernulli šo principu arī attīstīja kvantitatīvi. Lai atvasinātu Bernulli vienādojumu, mēs pieņemam vienmērīgu, lamināru šķidruma plūsmu, nesaspiežamību un zemu viskozitāti, ko var ignorēt.
Apspriežot nepārtrauktības vienādojumu, mēs uzzinājām, ka šķidruma plūsmas ātrums var mainīties arī atkarībā no plūsmas caurules šķērsgriezuma laukuma. Pamatojoties uz iepriekš paskaidroto Bernulli principu, šķidruma spiediens var mainīties arī atkarībā no šķidruma plūsmas ātruma. Šķidruma spiediens var mainīties arī atkarībā no šķidruma augstuma. Spiediena, plūsmas ātruma un plūsmas augstuma attiecību var iegūt no Bernulli vienādojuma.
Bernulli vienādojums ir ļoti svarīgs, jo to var izmantot, lai analizētu lidmašīnu lidojumus, hidroelektrostacijas, cauruļvadu sistēmas utt. Lai Bernulli vienādojums, ko mēs atvasināsim, būtu piemērojams vispārēji, mēs pieņemsim, ka šķidrums plūst caur plūsmas cauruli ar nevienādiem šķērsgriezuma laukumiem un arī dažādiem augstumiem (skatiet attēlu zemāk). Lai atvasinātu Bernulli vienādojumu, mēs piemērojam darba un enerģijas teorēmu šķidrumam plūsmas caurules apgabalā. Pēc tam mēs aprēķināsim šķidruma daudzumu un darbu, kas veikts, lai pārvietotu šķidrumu.
Attēlā redzamā plūsmas caurules necaurspīdīgā krāsa norāda uz šķidruma plūsmu, savukārt baltā krāsa norāda, ka šķidruma nav.
Šķidrums šķērsgriezuma laukumā 1 (kreisajā pusē) plūst attālumā L1 un piespiež šķidrumu šķērsgriezumā 2 (labajā pusē) pārvietoties attālumā L2 . Tā kā šķērsgriezuma laukums 2 labajā pusē ir mazāks, šķidruma plūsmas ātrums plūsmas caurules labajā pusē ir lielāks (atcerieties nepārtrauktības vienādojumu). Tas rada spiediena starpību starp šķērsgriezumu 2 (plūsmas caurules labā puse) un šķērsgriezumu 1 (plūsmas caurules kreisā puse) - atcerieties Bernulli principu. Šķidrums šķērsgriezuma 1 kreisajā pusē rada spiedienu P1 uz šķidrumu labajā pusē un veic šādu darbu:
Tad vienādojumu W 1 var uzrakstīt šādi:
W1 = p1A1L1
2. šķērsgriezumā (plūsmas caurules labajā pusē) ar šķidrumu veiktais darbs ir:
W² = −p²A²L²
Negatīvā zīme norāda, ka pieliktais spēks ir pretējs kustības virzienam. Tātad šķidrums veic darbu pa labi no 2. sekcijas. Turklāt uz šķidrumu darbu veic arī gravitācijas spēks. Iepriekš minētajā gadījumā noteikta šķidruma masa tiek pārvietota no 1. sekcijas līdz L1 uz 2. sekciju līdz L2 , kur šķidruma tilpums 1. sekcijā (A1L1 ) = šķidruma tilpums 2. sekcijā (A2L2 ) . Gravitācijas veiktais darbs ir:
W3 = −mg( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mg/ h1 − mg / h2
Negatīvā zīme ir saistīta ar šķidruma plūsmu uz augšu, pretēji gravitācijas virzienam. Tādējādi kopējais šķidrumam veiktais darbs, kā parādīts attēlā iepriekš, ir:
W = W1 + W2 + W3
W = P1A1L1 - P2A2L2 + mgh1 - mgh2
Darba-enerģijas teorēma nosaka, ka kopējais sistēmā veiktais darbs ir vienāds ar tās kinētiskās enerģijas izmaiņām. Tādējādi darbu (W) var aizstāt ar kinētiskās enerģijas izmaiņām (EK2 - EK1 ).
Iepriekš minēto vienādojumu varam pārrakstīt šādi:
W = P1A1L1 - P2A2L2 + mgh1 - mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 - 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Šķidruma masa , kas plūst attālumā L1 šķērsgriezumā A1 = šķidruma masa , kas plūst attālumā L2 ( šķērsgriezums A2 ) . Šķidruma masai, teiksim , m, ir tilpums A1L1 un A2L2 , kur A1L1 = A2L2 ( L2 ir garāks par L1 ).
Tagad mēs aizvietojam vai aizvietojam m iepriekš minētajā vienādojumā ar m = ρ AL:
Šis ir Bernulli vienādojums. Mēs atvasinājām Bernulli vienādojumu, pamatojoties uz darba-enerģijas principu, tāpēc tas ir enerģijas nezūdamības likuma paveids.
Informācija:
P = Spiediens
ρ = šķidruma blīvums
v = Šķidruma plūsmas ātrums
g = Paātrinājums brīvās krišanas dēļ
h = plūsmas caurules augstums no zemes virsmas
Iepriekš minētā Bernulli vienādojuma kreisā un labā puse var attiekties uz jebkuriem diviem punktiem gar plūsmas cauruli, tāpēc mēs varam pārrakstīt iepriekš minēto vienādojumu šādi:
Šis vienādojums norāda, ka vienādojumā esošo lielumu kopsummai visā plūsmas caurulē ir vienāda vērtība.
Tagad apskatīsim Bernulli vienādojumu dažos gadījumos.
Bernulli vienādojums šķidrumiem miera stāvoklī
Bernulli vienādojuma speciālgadījums ir šķidrumi miera stāvoklī (statiskie šķidrumi). Kad šķidrums atrodas miera stāvoklī, tam nav ātruma. Tādējādi v1 = v2 = 0. Miera stāvoklī esoša šķidruma gadījumā Bernulli vienādojumu var formulēt šādi:
Ja h² - h¹ = h, tad šo vienādojumu var uzrakstīt šādi:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernulli vienādojums vienāda augstuma plūsmas caurulēm vai caurulēm
Ja plūsmas caurules vai cauruļvada augstums ir vienāds, tad Bernulli vienādojums tiek mainīts uz:
