Nepārtrauktības vienādojums

Nepārtrauktības vienādojuma materiāls

Mēģiniet lēnām atvērt ūdens krānu, vienlaikus vērojot ūdens plūsmu, kas plūst no krāna. Kad krāns pārstāj griezties, daļēji aizsprostojiet to ar roku. Tagad salīdziniet, kuram ūdens plūsma ir lielāka. Kad tas ir daļēji aizsprostots vai nav aizsprostots? Ja jums ir šļūtene, ko parasti izmanto ziedu laistīšanai, ļaujiet ūdenim plūst cauri tai. Daļēji aizsprostojiet šļūteni ar roku vai pirkstu. Jo lielāka šļūtenes daļa ir aizsprostota, jo ātrāk ūdens izplūdīs. Un otrādi, ja šļūtene nav aizsprostota, ūdens plūdīs lēnāk. Kāpēc tas tā ir? Lai to saprastu, lūdzu, izpētiet nepārtrauktības vienādojumu.

Plūsmas līnijas un plūsmas caurules

Vispirms sapratīsim plūsmas līniju un plūsmas cauruļu jēdzienus. Šis jēdziens ir svarīgs, jo tas palīdzēs izprast nepārtrauktības vienādojumu.

Plūsmas līnija

Apskatiet attēlu zemāk, zilā līnija ir straume.

Pastāvīgā plūsmā katras šķidruma daļiņas ātrums noteiktā punktā, teiksim, punktā A, paliek nemainīgs. Šķidruma daļiņu ātrumam pārvietojoties pāri punktam B, tās var mainīties. Tomēr, sasniedzot punktu B, aiz tām esošās šķidruma daļiņas turpina plūst ar tādu pašu ātrumu kā pirms tām esošās šķidruma daļiņas. Tas pats attiecas uz ierašanos punktā C un tā tālāk. Plūsmas līnija ir līkne, kas savieno punktus A, B un C.

Plūsmas caurule

Būtībā mēs varam novilkt katru plūsmas līniju caur katru šķidruma plūsmas punktu. Ja ņemam vērā pastāvīgu šķidruma plūsmu, vairākas plūsmas līnijas, kas iet caur noteiktu leņķi uz iedomātas virsmas laukuma (iedomāta virsmas laukuma), veido plūsmas cauruli. Neviena šķidruma daļiņa nekrustojas viena ar otru, bet vienmēr ir paralēlas, un plūsmas caurule atgādinās cauruli, kurai vienmēr ir tāda pati forma. Šķidrums, kas ieplūst vienā caurules galā, izies no caurules otrā galā.

Debets

Caurplūde norāda šķidruma tilpumu, kas plūst caur noteiktu šķērsgriezumu noteiktā laika intervālā. Matemātiski to var izteikt šādi:

Lai labāk izprastu, izmantosim piemēru. Pieņemsim, ka šķidrums plūst caur cauruli. Caurules parasti ir cilindriskas un tām ir noteikts šķērsgriezuma laukums. Caurulei ir arī garums.

Kad šķidrums caurulē plūst līdz attālumam L, tad šķidruma tilpums caurulē ir V = AL (V = šķidruma tilpums, A = šķērsgriezuma laukums un L = caurules garums). Tā kā plūsmas laikā caurulē pa attālumu L šķidrums pārvietojas noteiktu laika intervālu, tad var teikt, ka šķidruma izplūdes lielums ir:

Tā kā v = s/t = L/t —> L = vt, iepriekš minētais vienādojums tiek mainīts uz:

Tādējādi, kad šķidrums plūst caur cauruli, kurai ir noteikts šķērsgriezuma laukums un garums noteiktā laika intervālā, šķidruma izplūdes lielums (Q) ir vienāds ar šķērsgriezuma virsmas laukumu (A), kas reizināts ar šķidruma plūsmas ātrumu (v).

Nepārtrauktības vienādojums

Apsveriet šķidruma plūsmu caurulē ar dažādiem diametriem, kā parādīts attēlā zemāk.

Šajā attēlā redzama šķidruma plūsma no kreisās uz labo pusi (šķidrums plūst no caurules ar lielu diametru uz cauruli ar mazu diametru). Punktētās līnijas ir plūsmas līnijas.

Attēla paraksts: _A1 = lielā diametra caurules sekcijas šķērsgriezuma laukums, A2 ₌ mazā diametra caurules sekcijas šķērsgriezuma laukums, v1 = šķidruma plūsmas ātrums lielā diametra caurules _sekcijā , v2 = šķidruma _plūsmas ātrums mazā diametra caurules sekcijā, L = šķidruma nobrauktais attālums.

Šķidrumu dinamikas ievadā tika paskaidrots, ka šķidrumu dinamikā mēs apspriežam nesaspiežamu, neviskozu, nekrustotu un vienmērīgu šķidrumu plūsmu. Pastāvīgā plūsmā šķidruma daļiņu ātrums noteiktā punktā ir tāds pats kā citu šķidruma daļiņu ātrums, kas iet caur šo punktu. Šķidrumu plūsmas arī nekrustojas viena otrai (straumes ir paralēlas). Tāpēc šķidruma masai, kas nonāk vienā caurules galā, jābūt vienādai ar šķidruma masu, kas iziet no otra gala. Ja šķidrums ar noteiktu masu nonāk caurulē ar lielu diametru, tad šķidrums izies no caurules ar mazu diametru ar nemainīgu masu.

Tagad aplūkojiet caurules attēlu augstāk. Apskatiet caurules daļu ar lielāko diametru un caurules daļu ar mazo diametru.

Noteiktā laika intervālā caur caurules posmu ar lielu diametru (A) plūst noteikts šķidruma daudzums.₁) līdz L₁ (L₁ = v₁ t). Plūstošā šķidruma tilpums ir V.₁ = A.₁ L₁ = A.₁ v₁ t. Tajā pašā laika intervālā caur caurules posmu ar mazāku diametru (A) plūst cits šķidruma daudzums.₂) līdz L₂ (L₂ = v₂ t). Plūstošā šķidruma tilpums ir V.₂ = A.₂ L₂ = A.₂ v₂ t.

Nepārtrauktības vienādojums nesaspiežamiem šķidrumiem (nesaspiežams)

Vispirms aplūkosim nesaspiežama šķidruma gadījumu. Nesaspiežamā šķidrumā šķidruma blīvums jeb masa vienmēr ir vienāda katrā punktā, caur kuru tas plūst. Šķidruma masa, kas plūst caurulē ar šķērsgriezuma laukumu A1 ₍ caurules lielākais diametrs), noteiktā laika intervālā ir:

Tāpat šķidruma masa, kas plūst caurulē ar šķērsgriezuma laukumu A2 ₍ mazs caurules diametrs) noteiktā laika intervālā, ir:

Ņemot vērā, ka vienmērīgas plūsmas gadījumā ienākošā šķidruma masa ir vienāda ar izplūstošā šķidruma masu, tad:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (šķidruma blīvums un laika intervāls ir vienādi, tāpēc tie viens otru atceļ)

A1 pret ₁ = _A2 pret _2​

Tātad nesaspiežamos šķidrumos darbojas nepārtrauktības vienādojums:

A1v1 = _A2v2 — _1. vienādojums_​​_​

Informācija:

A1 = šķērsgriezuma laukums 1, A2 = šķērsgriezuma laukums 2, v1 = šķidruma _plūsmas ātrums šķērsgriezumā 1, _v2 = šķidruma plūsmas ātrums šķērsgriezumā 2, Av = tilpuma plūsmas ātrums V/t _{jeb izlāde}

1. vienādojums parāda, ka tilpuma plūsmas ātrums, kas pazīstams arī kā izplūde, vienmēr ir vienāds katrā caurules vai plūsmas caurules punktā. Samazinoties caurules šķērsgriezumam, šķidruma plūsmas ātrums palielinās; un otrādi, palielinoties caurules šķērsgriezumam, šķidruma plūsmas ātrums samazinās.

Kad krāns ir daļēji aizbāzts, ūdens plūsma kļūst ātrāka nekā tad, kad krāns ir daļēji aizvērts. Tas ir tāpēc, ka, daļēji aizverot krānu, tā šķērsgriezuma laukums samazinās, palielinot ūdens plūsmas ātrumu (šķidrums plūst ātrāk). Tas pats attiecas uz šļūtenēm. Tomēr ir svarīgi atzīmēt, ka izplūdes jeb tilpuma plūsmas ātrums visos ūdens plūsmas punktos paliek nemainīgs neatkarīgi no tā, vai krāns ir daļēji aizvērts vai nē. Tātad, mainās šķidruma plūsmas ātrums.

Tātad, kā ir ar ūdens plūsmu upē? Dziļākām upes daļām ir lielāks šķērsgriezums nekā seklākām daļām, tāpēc ūdens plūsmas ātrums dziļākās daļās ir mazāks nekā seklākās daļās. Ja redzat ļoti mierīgu upes plūsmu, tas nozīmē, ka upe ir dziļa. Bet, ja upe pēkšņi kļūst strauja, šī daļa noteikti ir sekla. Tomēr ūdens tilpuma plūsmas ātrums vienmēr ir vienāds neatkarīgi no tā, vai tas ir dziļās vai mierīgās upes daļās.

Nepārtrauktības vienādojums saspiežamiem šķidrumiem (saspiežams)

Saspiežamu šķidrumu gadījumā šķidruma blīvums ne vienmēr ir vienāds. Citiem vārdiem sakot, šķidruma blīvums mainās, kad tas tiek saspiests. Lai gan nesaspiežamos šķidrumos šķidruma blīvums no vienādojuma tiek izslēgts, šajā gadījumā tas joprojām ir iekļauts. Atsaucoties uz iepriekš atvasināto vienādojumu, atvasināsim saspiežamu šķidrumu vienādojumu.

Ņemot vērā, ka vienmērīgas plūsmas gadījumā ienākošā šķidruma masa ir vienāda ar izplūstošā šķidruma masu, tad:

m1 = _m2​

ρA1v1t = ρA2v2t_​​​​_​​

Šķidruma plūsmas laika intervāls ir vienāds, tāpēc to var izslēgt. Vienādojums mainās uz:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → 2. vienādojums

Šis ir saspiežama šķidruma vienādojums. Vienīgā atšķirība ir šķidruma blīvumā. Kad šķidrums tiek saspiests, tā blīvums mainās. Un otrādi, ja šķidrums ir nesaspiežams, tā blīvums paliek nemainīgs un to var neitralizēt.

1. jautājuma piemērs:

Ūdens plūst caur cauruli ar diametru 10 cm ar ātrumu 2 m/s. Kāda ir ūdens notece?

Diskusija

Ir zināms, ka:

Caurules diametrs = 10 cm (tas ir caurules iekšējais diametrs)

Caurules rādiuss (r) = 5 cm = 0,05 m

v ūdens = 2 m/s

Jautāts: Debets

Atbilde:

Q = A v

Q = (πr2 ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ^² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

2. jautājuma piemērs:

Ūdensvada caurule ar diametru 20 cm ir savienota ar citu cauruli ar diametru 10 cm. Ja ūdens plūsmas ātrums 20 cm diametra caurulē = 4 m/s, kāds ir ūdens plūsmas ātrums 10 cm diametra caurulē?

Diskusija

Ir zināms, ka:

Diametrs 1 = 20 cm (r1 ₌ 10 cm = 0,1 m)

v² = ₄ m/s

Diametrs 2 = 10 cm (r2 ₌ 5 cm = 0,05 m)

Jautāts: _1. daļa

Atbilde:

_1. jautājums = _{2. jautājums}

A1 pret ₁ = _A2 pret _2​

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ^² (4 m/s) = (0,05 m) ^² ( ^v² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m³ ^/ s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

v² = ¹⁶ m/s