Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi

1. Divas bumbas, kas savienotas ar stieni, kā parādīts attēlā zemāk. Neņemiet vērā stieņa masu . Bumbas P masa ir 600 grami, un bumbas Q masa ir 400 grami. Kāds ir sistēmas inerces moments attiecībā pret AB?

Zināms:

Rotācijas ass ir AB. Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi 1

m _p = 600 grami = 0.6 kg, m _q = 400 grami = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Vēlams: sistēmas inerces moments

šķīdums:

I = m/ _pr / _rp² + m/ ^q_/ r ^/_q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Stienis AB ar masu 2 kg, kas pagriezts ap punktu A, stieņa inerces moments ir 8 kg m ² . Ja tas pagriezts ap punktu O (AO = OB), kāds ir stieņa inerces moments?

Zināms: Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi 2

Stieņa AB masa (m) = 2 kg

Ja rotē ap punktu A tā, ka rotācijas rādiuss (r) = AB garums = r, tad inerces moments (I) = 8 kg m ²

Vēlams: Ja stieņu pagriež ap punktu O tā, ka rotācijas rādiuss (r) = AO garums = OB garums = 1/2 r, tad kāds ir stieņa inerces moments?

šķīdums:

Es = kungs ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 metri

Ja rotē ap punktu O, tad ½ r = 1 metrs, tad inerces moments:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m ) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Divas bumbiņas, kas savienotas ar stieni, kā parādīts attēlā zemāk. Neņemiet vērā stieņa masu. Kāds ir sistēmas inerces moments?

Zināms:

Bumbas A masa (m_A) = 200 grami = 0.2 kg Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi 3

Bumbas B masa (m _B ) = 400 grami = 0.4 kg

Attālums starp lodīti A un rotācijas asi (r _A ) = 0

Attālums starp lodi B un rotācijas asi (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Vēlams: sistēmas inerces moments

šķīdums:

Bumbas A inerces moments:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾₌ (0.2)(0) ² = 0

Bumbas B inerces moments:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Sistēmas inerces moments:

I = IA ₊ IB ₌ 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Četras daļiņas ar dažādām masām, kā parādīts attēlā zemāk. Nosakiet sistēmas inerces momentu attiecībā pret horizontālo līniju P.

Šķīdums

Rotācijas ass ir horizontālā līnija P.

Zināms: Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi 4

Daļiņas A masa (m _A ) = m

Daļiņas B masa (m _B ) = 2m

Daļiņas C masa (m _C ) = 3m

Daļiņu caurlaidība D (m _D ) = 4m

Attālums starp daļiņu A un rotācijas asi (r _A ) = b

Attālums starp daļiņu B un rotācijas asi (r _B ) = b

Attālums starp daļiņu C un rotācijas asi (r _C ) = 2b

Attālums starp daļiņu D un rotācijas asi (rD ₎ = 2b

Vēlams: sistēmas inerces moments attiecībā pret horizontālo līniju P

šķīdums:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m) (b) ² + (2 m) (b) ² + (3 m) (2b) ² + (4 m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3 m) (4^b 2 ) + (4 m) (4b² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. Četras daļiņas, kas savienotas ar stieni. Neņemiet vērā stieņa masu. Nosakiet inerces momentu ap rotācijas asi caur daļiņām m1 _un m2 _, kā parādīts attēlā zemāk.

Zināms

Daļiņas 1 masa (m₁) = 1/4 kg Daļiņu inerces moments – problēmas un risinājumi 5

Daļiņas 2 masa (m2 ₎ = 1/2 kg

Daļiņas 3 masa (m3 ₎ = 1/4 kg

Daļiņas 4 masa (m4 ₎ = 1/4 kg

Attālums starp daļiņu 1 un rotācijas asi (r1 ₎ = 0

Attālums starp daļiņu 2 un rotācijas asi (r2 ₎ = 0

Attālums starp daļiņu 3 un rotācijas asi (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Attālums starp daļiņu 4 un rotācijas asi (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Meklē: Inerces moments

šķīdums:

I = m1 _/ r1 _/² + m2/ _r2 / ²₊ m3/ _r3 / ₂⁺ m4 _/ r4 ^/₂

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

Es = 2/400

I = 1/200 kg· ^m²

Kāds ir daļiņas inerces moments?
- atbildeVienai masas daļiņai $m$ attālumā $r$ no rotācijas ass, tās inerces moments $I$ ir $I = m \times r^{2}$ .
Kāpēc inerces momentu bieži sauc par masas "rotācijas analogu"?
- atbildeTāpat kā masa ir objekta pretestības mērs tā translācijas kustības izmaiņām (saskaņā ar Ņūtona otro likumu), inerces moments ir objekta pretestības mērs tā rotācijas kustības izmaiņām.
Kā daļiņas attāluma maiņa no tās rotācijas ass ietekmē tās inerces momentu?
- atbildeInerces moments ir proporcionāls attāluma kvadrātam no rotācijas ass. Ja attālums tiek dubultots, inerces moments palielināsies četras reizes.
Kāpēc attāluma kvadrāts (r²) tiek izmantots inerces momenta formulā, nevis tikai attāluma aprēķins?
- atbildeAttāluma kvadrāts tiek izmantots rotācijas kinētiskās enerģijas darbības principa dēļ. Rotācijas kustībā katra objekta daļiņa veicina rotācijas kinētisko enerģiju, pamatojoties gan uz tās masu, gan attālumu no ass kvadrātā.
Kā mainās daļiņas inerces moments, ja tās masa tiek trīskāršota, saglabājot nemainīgu attālumu no ass?
- atbildeJa masa tiek trīskāršota un attālums tiek saglabāts nemainīgs, inerces moments arī trīskāršosies, jo tas ir tieši proporcionāls masai.
Vai daļiņai var būt inerces moments nulle? Ja tā, tad kādos apstākļos?
- atbildeJā, daļiņai būs nulle inerces moments, ja tā atrodas tieši uz rotācijas ass, tādējādi tās attālums $r$ no ass, kas vienāda ar nulli.
Kāpēc dažādiem objektiem ar vienādu masu un izmēru ir atšķirīgi inerces momenti, rotējot ap dažādām asīm?
- atbildeMasas sadalījums ap rotācijas asi nosaka inerces momentu. Pat ja diviem objektiem ir vienāda masa un izmērs, to masas sadalījums attiecībā pret rotācijas asi var atšķirties, radot atšķirīgus inerces momentus.
Vai inerces moments ir skalārs vai vektora lielums?
- atbildeInerces moments ir skalārs lielums. Tomēr cietiem ķermeņiem ar sarežģītām formām un vairākām rotācijas asīm to attēlo ar tenzoru.
Ja ir divas daļiņas, katrai no kurām ir masa $m$ , atrodas attālumos $r_{1}$ un $r_{2}$ No rotācijas ass, kāds ir kopējais inerces moments?
- atbildeAtsevišķām daļiņām inerces moments ir aditīvs. Tādējādi kopējais inerces moments $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Kā inerces moments ir saistīts ar leņķiskā momenta saglabāšanu?
- atbildeLeņķiskais moments $L$ ir inerces momenta reizinājums $I$ un leņķiskais ātrums $ω$ , ko attēlo vienādojums $L = I \times ω$ Ja uz sistēmu neiedarbojas ārēji griezes momenti, leņķiskais moments paliks nemainīgs. Tas nozīmē, ka, mainoties inerces momentam (piemēram, daiļslidotājam velkot rokas), leņķiskajam ātrumam ir jāpielāgojas, lai reizinājums saglabātu nemainīgu vērtību.