Rotācijas kustību dinamika – problēmas un risinājumi

1. Skriemelim ar inerces momentu I = 2/5 MR² ^ir 2 kg masa. Ja spēka moments uz skriemeli ir 4 Nm, tad kāds ir skriemeļa lineārais paātrinājums? Brīvās krišanas paātrinājums ir g = 10 ^ms⁻².

Zināms : Rotācijas kustību dinamika – problēmas un risinājumi 1

Skriemeļa inerces moments (I) = 2/5 ^MR2

Skriemeļa masa (M) = 2 kg

Spēka moments (τ) = 4 Nm

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 ms ^-2

Skriemeļa rādiuss (R) = 20 cm = 0.2 m

Vēlams: lineārais paātrinājums (a)

šķīdums:

Skriemeļa inerces moments (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m ²

Leņķiskais paātrinājums (α):

τ = I α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Lineārais paātrinājums (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Skriemeļa malas lineārais paātrinājums ir 25 ms ^-2.

2. Skriemeļa paātrinājums ir 2 ms⁻² ^. Brīvās krišanas paātrinājums ir g = 10 ms⁻² ^. Kāds ir skriemeļa inerces moments?

Zināms:

Skriemeļa malas lineārais paātrinājums (a) = 2 ms^-2

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 ms ^-2

Skriemeļa rādiuss (R) = 10 cm = 0.1 m

Objekta svars (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Vēlams: Skriemeļa inerces moments

šķīdums:

Spēka moments (τ):

τ = FR = w R = (40) (0.1) = 4 Nm

Skriemeļa leņķiskais paātrinājums (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

Skriemeļa inerces moments (I):

τ = I α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Skriemelis paātrinājās ar ātrumu 1 ms⁻² ^. Ja skriemeļa rādiuss ir 10 cm, kāds ir skriemeļa inerces moments?

Zināms:

Skriemeļa malas lineārais paātrinājums (a) = 1 ms^-2

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 ms ^-2

Skriemeļa rādiuss (R) = 10 cm = 0.1 m

Spēks (F) = 4 N

Vēlams: skriemeļa inerces moments

šķīdums:

Spēka moments (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Skriemeļa leņķiskais paātrinājums (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

Skriemeļa inerces moments (I):

τ = I α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Kāds ir masas rotācijas ekvivalents lineārā kustībā?
- Atbilde: Lineārā kustībā masas rotācijas ekvivalents ir inerces moments, ko bieži apzīmē kā $I$ .
Kā griezes moments ir saistīts ar rotācijas kustību un kā tas salīdzināms ar spēku lineārā kustībā?
- Atbilde: Griezes moments ir spēka rotācijas ekvivalents. Lai gan spēks objektos izraisa lineāru paātrinājumu, griezes moments rotējošos ķermeņos izraisa leņķisko paātrinājumu. Griezes momentu aprēķina kā pieliktā spēka un perpendikulārā attāluma no rotācijas ass līdz spēka pielikšanas punktam reizinājumu.
Kāda ir saistība starp leņķisko paātrinājumu, griezes momentu un inerces momentu?
- Atbilde: Attiecību nosaka Ņūtona otrais rotācijas likums: $τ = I α$ , Kur $τ$ ir griezes moments, $I$ ir inerces moments, un $α$ ir leņķiskais paātrinājums.
Ja rotējoša objekta inerces moments palielinās, kamēr ārējais griezes moments paliek nemainīgs, kas notiek ar leņķisko paātrinājumu?
- Atbilde: Ja inerces moments palielinās un ārējais griezes moments paliek nemainīgs, leņķiskais paātrinājums samazinās.
Kā lineārā impulsa un leņķiskā momenta jēdzieni ir analogi lineārā un rotācijas kustībā?
- Atbilde: Lineārais impulss (ko sniedz $p = m v$ , Kur $m$ ir masa un $v$ ir ātrums) ir masas un lineārā ātruma reizinājums, savukārt leņķiskais moments (ko izsaka $L = I ω$ , Kur $I$ ir inerces moments un $ω$ ir leņķiskais ātrums) ir inerces momenta un leņķiskā ātruma reizinājums.
Ko nozīmē leņķiskā momenta nezūdamības likums?
- Atbilde: Leņķiskā momenta nezūdamības likums nosaka, ka, ja nav ārēju griezes momentu, slēgtas sistēmas kopējais leņķiskais moments paliek nemainīgs.
Kāpēc daiļslidotāji griežas ātrāk, kad grieziena laikā ieliek rokas uz iekšu?
- Atbilde: Kad daiļslidotāji ieliec rokas, viņu inerces moments samazinās. Leņķiskā momenta nezūdamības likuma dēļ, samazinoties inerces momentam, leņķiskajam ātrumam (jeb griešanās ātrumam) ir jāpalielinās, lai leņķiskais moments paliktu nemainīgs.
Kā objekta rotācijas kinētiskā enerģija atšķiras no tā lineārās kinētiskā enerģijas?
- Atbilde: Rotācijas kinētiskā enerģija (izteikta ar 1/2 $I ω^{2}$ ) ir analogs lineārajai kinētiskajai enerģijai (izteikts ar 1/2 $m v^{2}$ ). Pirmais ir saistīts ar objekta rotāciju, bet otrais — ar tā lineāro kustību.
Vai objektam var vienlaikus būt gan rotācijas, gan lineārā kinētiskā enerģija?
- Atbilde: Jā, objektam var būt gan rotācijas, gan lineāra kinētiskā enerģija. Piemēram, ripojošam ritenim rotācijas kinētiskā enerģija rodas tā griešanās dēļ, bet lineārā kinētiskā enerģija rodas tā kustības uz priekšu dēļ.
Ja rotējoša riteņa rādiuss dubultojas, saglabājot nemainīgu tā leņķisko ātrumu, kā mainās tā inerces moments?

Atbilde: Cieta diska inerces momentu izsaka ar 1/2 $m r^{2}$ , Kur $m$ ir masa un $r$ ir rādiuss. Ja rādiuss dubultojas un masa paliek nemainīga, inerces moments palielināsies četras reizes.