Leņķiskais impulss

Leņķiskais impulss

Rotācijas kustības lielums, kas lineārā kustībā ir identisks masai (m), ir inerces moments (I). Rotācijas kustības lielums, kas lineārā kustībā ir identisks ātrumam (v), ir leņķiskais ātrums (ω). Tādējādi rotējošajam objektam ir leņķiskais moments, ko var aprēķināt, izmantojot šādu vienādojumu:

L = Iω

L = leņķiskais moments (kg m² ^/ s), I = inerces moments (kg m² ⁾ , ω = leņķiskais ātrums (rad/s)

Leņķiskā momenta parauga problēmas

1. parauga uzdevums.

Daļiņa ar masu 0.5 grami pārvietojas pa apli ar nemainīgu leņķisko ātrumu 2 rad/s. Nosakiet daļiņas leņķisko momentu, ja daļiņas ceļa rādiuss ir 10 cm.

Risinājums:

Daļiņas inerces moments:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻³ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻³ m² ) = 0.5 x ^10⁻³ kg ^​​m²

Daļiņas leņķiskais ātrums:

ω = 2 rad/s

Daļiņas leņķiskais moments:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ^/ s

Leņķiskā momenta nezūdamības likums

Leņķiskā momenta nezūdamības likums nosaka, ka, ja rezultējošais spēka moments uz stingru ķermeni rotācijas laikā ir nulle, tad stingra ķermeņa leņķiskais moments rotācijas laikā vienmēr ir nemainīgs. Leņķiskā momenta nezūdamības likumu var matemātiski atvasināt, modificējot Ņūtona otrā leņķiskā momenta likuma vienādojumu. Šeit ir Ņūtona otrā leņķiskā momenta likuma vienādojums:

Ja iegūtais spēka moments ir nulle, tad iepriekš minētais vienādojums mainās uz:

I _t = inerces beigu moments, I _o = sākotnējais inerces moments, ω _t = galīgais leņķiskais ātrums, ω _o = sākotnējais leņķiskais ātrums, L _t = galīgais leņķiskais moments, L _o = sākotnējais leņķiskais moments.

Leņķiskā momenta nezūdamības likuma paraugproblēmas

1. parauga uzdevums.

Homogēns ciets cilindrisks disks sākotnēji rotē ap savu asi ar ātrumu 4 rad/s. Diska masa un rādiuss ir 1 kg un 0.5 m. Ja virs plāksnes novieto gredzenu ar masu un rādiusu 0.2 kg un 0.1 m, un gredzena centrs ir

tieši virs diska centra, tad disks un gredzens griezīsies kopā ar leņķisko ātrumu…..

Risinājums:

Cieta cilindra inerces moments: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Gredzena inerces moments: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Sākotnējais leņķiskais moments (L1 ₎ = Beigu leņķiskais moments ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptuāli jautājumi un atbildes

1. Kas ir leņķiskais moments?
   Atbilde: Leņķiskais moments ir objekta rotācijas apjoma mērs, ņemot vērā tā masu un formu. Tas ir lineārā momenta rotācijas analogs.
2. Kā matemātiski nosaka leņķisko momentu?
   Atbilde: Leņķiskais moments (L) tiek definēts kā $L=r\times p$, Kur $r$ ir pozīcijas vektors no rotācijas ass līdz pielietošanas punktam, un $p$ ir lineārais impulss.
3. Vai leņķiskais moments ir skalārs vai vektora lielums?
   Atbilde: Leņķiskais impulss ir vektora lielums.
4. Kāda ir leņķiskā momenta mērvienība SI sistēmā?
   Atbilde: Leņķiskā momenta mērvienība SI sistēmā ir kilogrammetrs kvadrātā sekundē (kg·m²/ s).
5. Kā tiek saglabāts leņķiskais moments?
   Atbilde: Slēgtā sistēmā bez ārējiem griezes momentiem kopējais leņķiskais moments paliek nemainīgs.
6. Kāds ir leņķiskā momenta nezūdamības princips?
   Atbilde: Princips nosaka, ka slēgtas sistēmas kopējais leņķiskais moments paliek nemainīgs, ja vien to neiedarbojas ārējs griezes moments.
7. Kā daiļslidotāja griešanās ir saistīta ar leņķisko momentu?
   Atbilde: Kad daiļslidotājs grieziena laikā pievelk rokas un kājas tuvu ķermenim, viņa inerces moments samazinās, kā rezultātā viņš griežas ātrāk. Tas parāda leņķiskā momenta nezūdamības likumu.
8. Kāda ir saistība starp griezes momentu un leņķisko momentu?
   Atbilde: Griezes moments ($\tau$) ir leņķiskā momenta izmaiņu ātrums. Matemātiski, τ=dL/sek.​.
9. Vai objektam var būt leņķiskais moments bez leņķiskā ātruma?
   Atbilde: Nē, ja objektam ir leņķiskais moments, tam ir leņķiskais ātrums. Leņķiskā momenta lielums un virziens ir atkarīgi gan no inerces momenta, gan leņķiskā ātruma.
10. Kā inerces moments ietekmē leņķisko impulsu?
    Atbilde: Leņķiskais moments (L) ir inerces momenta (I) un leņķiskā ātruma (ω) reizinājums. ASV $L=I\omega$, inerces momenta palielināšanās dotajam leņķiskajam ātrumam palielinās leņķisko momentu.
11. Kāda ir atšķirība starp spinu un orbitālo leņķisko momentu kvantu mehānikā?
    Atbilde: Spin leņķiskais moments ir daļiņu, piemēram, elektronu, iekšēja īpašība, un tas nerodas kustības telpā rezultātā. Savukārt orbitālais leņķiskais moments rodas no daļiņas kustības ap centrālo punktu.
12. Kāda loma ir leņķiskajam momentam planētu sistēmu veidošanā?
    Atbilde: Molekulārajam mākonim sabrūkot, veidojot zvaigznes un planētas, leņķiskā momenta nezūdamības likums liek materiālam saplacināties diskā ap jaundzimušo zvaigzni, no kura var veidoties planētas.
13. Kā žiroskops saglabā savu orientāciju telpā?
    Atbilde: Rotējošam žiroskopam ir leņķiskais moments. Kad ārējs griezes moments mēģina mainīt tā orientāciju, žiroskops precesē jeb maina savu rotācijas asi virzienā, kas ir perpendikulārs pielietotajam griezes momentam leņķiskā momenta nezūdamības likuma dēļ.
14. Kas izraisa precesiju vilciņā?
    Atbilde: Precesiju vilciņā izraisa gravitācijas griezes moments, kas iedarbojas uz vilciņa masas centru, kurš atrodas nobīdītā stāvoklī no tā pagrieziena punkta. Šis griezes moments izraisa izmaiņas vilciņa leņķiskā momenta virzienā, izraisot tā precesiju.
15. Kāpēc zvaigznes saplacinās savos polios?
    Atbilde: Rotējot zvaigznes, tās izjūt centrbēdzes spēku, kas izspiež matēriju uz āru. Šis efekts ir spēcīgāks pie ekvatora nekā pie poliem, kā rezultātā tās veido saplacinātu formu.
16. Kā leņķiskais moments ir saistīts ar Keplera otro likumu?
    Atbilde: Keplera otrais likums nosaka, ka līnijas segments, kas savieno planētu un Sauli, vienādos laika intervālos aizņem vienādas platības. Tas ir leņķiskā momenta nezūdamības likuma sekas.
17. Kāpēc kaķis krītot vienmēr piezemējas uz kājām?
    Atbilde: Kaķi izmanto leņķiskā momenta nezūdamības likumu. Pagriežot ķermeni un mainot inerces momentus gaisā, tie var mainīt savu orientāciju, lai piezemētos uz kājām, nepārkāpjot nezūdamības likumus.
18. Kā magnētiskais moments ir saistīts ar elektronu leņķisko momentu?
    Atbilde: Elektrona magnētiskais moments rodas no tā spina un orbitālā leņķiskā momenta. Magnētiskais moments ir proporcionāls elektrona leņķiskajam momentam.
19. Kas ir leņķiskais moments polāro koordinātu izteiksmē?
    Atbilde: Polārajās koordinātēs, leņķiskais moments $L$ punktveida masai var izteikt kā $L=mrv$, Kur $m$ ir masa, $r$ ir radiālais attālums, un $v$ ir tangenciālais ātrums.
20. Kas notiek ar slēgtas sistēmas leņķisko momentu, kad saduras divi objekti?
    Atbilde: Slēgtā sistēmā, kurā saduras divi objekti, kopējais leņķiskais moments pirms sadursmes ir vienāds ar kopējo leņķisko momentu pēc sadursmes, pieņemot, ka uz sistēmu neiedarbojas ārēji griezes momenti.

Problēmas un risinājumi

1. Uzdevums: Punktveida masa m = 2 kg pārvietojas ar ātrumu v = 3 m/s pa apli ar rādiusu r = 4 m. Aprēķiniet tā leņķisko momentu ap apļa centru.

Risinājums: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. Problēma: Cieta sfēra ar masu 3 kg un rādiusu 0.5 m rotē ap savu diametru ar leņķisko ātrumu ω = 2 rad/s. Kāds ir tās leņķiskais moments?

Risinājums: Cietai sfērai I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2/5 × 3 × (0.5) ² × 2 = 0.6 kg.m ² /s

3. Problēma: Punktveida masa ar 3 kg pārvietojas ar ātrumu 4 m/s taisnā līnijā. Kāds ir tās leņķiskais moments ap punktu, kas atrodas 5 m attālumā no tās kustības līnijas?

Risinājums:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Problēma: Disks ar masu 5 kg un rādiusu 3 m rotē ar leņķisko ātrumu 2 rad/s. Aprēķiniet tā leņķisko momentu.

Risinājums: Diskam I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² × 2=45 kg.m ² /s

5. Uzdevums: Stienis ar garumu 4 m un masu 2 kg griežas ap vienu galu ar leņķisko ātrumu 3 rad/s. Aprēķiniet tā leņķisko momentu.

Risinājums: Stienim, kura garums ir aptuveni viens, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² × 3=96 kg.m ² /s

6. Problēma: Kā mainās leņķiskais moments, ja rotējoša ķermeņa leņķiskais ātrums divkāršojas?

Risinājums: Leņķiskā momenta (L) un leņķiskā ātruma (ω) attiecība ir $L=I\times \omega$ . Ja ω dubultojas, leņķiskais moments arī dubultosies.

7. Problēma: Ja kustīgas daļiņas apļa trajektorijas rādiuss dubultojas, saglabājot ātrumu nemainīgu, par cik reizinātāju mainās leņķiskais moments?

Risinājums: Leņķiskais moments, $L=m\times r\times v$ . Ja r dubultojas, arī L dubultosies.

8. Uzdevums: Bērns, kura masa ir 30 kg, stāv pie nekustīga karuseļa malas. Karuseļa rādiuss ir 2 m. Ja bērns sāk skriet ar ātrumu 2 m/s attiecībā pret zemi pa malu, aprēķiniet bērna leņķisko momentu attiecībā pret centru.

Risinājums: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. Problēma: Cilindrs ar masu 6 kg un rādiusu 2 m rotē ap savu centrālo asi ar leņķisko ātrumu 5 rad/s. Aprēķiniet tā leņķisko momentu.

Risinājums: Cilindram I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg·m ² /s

10. Problēma: Kāds būs ķermeņa jaunais leņķiskais moments, ja tā inerces moments samazināsies uz pusi un leņķiskais ātrums trīskāršosies?

Risinājums: Ņemot vērā, ka $L=I\times \omega$ , ja $I$ tiek samazināts uz pusi un $\omega$ tiek trīskāršots, jaunais $L$ būs 1/2 × 3 = 1.5 × sākotnējais.

11. Problēma: Stīpa ar masu 2 kg un rādiusu 1 m rotē ar leņķisko ātrumu 4 rad/s. Aprēķiniet tās leņķisko momentu.

Risinājums: Stīpai I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg ^·m² /s

12. Uzdevums: Ventilatora lāpstiņu garums ir 0.5 m un kopējā masa 1 kg. Ja tas griežas ar leņķisko ātrumu 10 rad/s, nosakiet tā leņķisko momentu.

Risinājums: Pieņemot, ka ventilatora lāpstiņas ir kā stieņi, kas rotē ap vienu galu, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg·m ² /s

13. Uzdevums: Aprēķiniet Zemes leņķisko momentu ap savu asi tās rotācijas dēļ. Dots: Zemes masa = ^5.972 × ^10²⁴ kg , rādiuss $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻¹⁴\text{rad/s}$.

Risinājums: Pieņemot, ka Zeme ir cieta sfēra, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problēma: Bērns pārvietojas uz rotējošas platformas centru. Vai leņķiskais moments palielinās, samazinās vai paliek nemainīgs?

Risinājums: Leņķiskais moments saglabājas. Bērnam virzoties uz centru, inerces moments samazinās. Lai saglabātu leņķisko momentu, leņķiskais ātrums palielinās. Tādējādi leņķiskais moments paliek nemainīgs.

15. Problēma: Ja rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija tiek dubultota, cik reizinātājā mainās tā leņķiskais moments?

Risinājums: kinētiskā enerģija K = 1/2 I ω ² un leņķiskais moments $L=I\omega$ . Ja kinētiskā enerģija tiek dubultota un $I$ paliek nemainīgs, ω ² tiek dubultots. Tas nozīmē, ka $\omega$ palielinās par koeficientu √ 2 .$Tādējādi\; arī\; L$ palielinās par koeficientu √ 2 .

16. Problēma: Velosipēda ritenim ar rādiusu 0.3 m ir loks ar masu 1.5 kg. Ja tas griežas ar leņķisko ātrumu 5 rad/s, aprēķiniet tā leņķisko momentu.

Risinājums: Pieņemot, ka loks ir stīpa, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problēma: Slidotāja, griežoties, ievelk rokas uz iekšu. Kas notiek ar viņas leņķisko momentu?

Risinājums: Slidotāja leņķiskais moments ir saglabāts. Ievelkot rokas, viņa samazina savu inerces momentu, un tādējādi viņa griežas ātrāk (palielinās leņķiskais ātrums), lai saglabātu savu leņķisko momentu.

18. Problēma: Spararata inerces moments ir 0.2 kg.m ² kg.m ² un tas rotē ar leņķisko ātrumu 10 rad/s. Aprēķiniet tā leņķisko momentu.

Risinājums:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problēma: Sistēmai iedarbojas tīrais ārējais griezes moments, kas ir nulle. Ko var teikt par tās leņķisko momentu?

Risinājums: Ja neto ārējais griezes moments ir nulle, tad saskaņā ar leņķiskā momenta nezūdamības likumu sistēmas kopējais leņķiskais moments paliek nemainīgs.

20. Uzdevums: Punktveida masa m = 5 kg pārvietojas ar ātrumu v = 3 m/s perpendikulāri līnijai, kas to savieno ar punktu P. Ja attālums no punkta P ir 4 m, aprēķiniet tā leņķisko momentu ap punktu P.

Risinājums:

$L=m\times r\times v$ =5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s