Krustveida reizināšanas materiāls, izmantojot vienību vektoru komponentus
Vektoru reizinājumu varam aprēķināt tieši, ja zinām vektoru komponentes. Procedūra ir tāda pati kā skalārā reizinājuma gadījumā . Vispirms reizinām vienības vektorus i , j un k . Vektoru reizinājums starp tiem pašiem vienības vektoriem ir nulle.
i x i = j x j = k x k = 0
Atsaucoties uz iepriekš atvasināto vektoru reizināšanas vienādojumu (A x B = AB grēks θ) un vektoru reizināšanas antikomutatīvā īpašība (A x B = - B x A), tad mēs iegūstam:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Tagad mēs izsakām vektorus A un B to komponentu izteiksmē, sadalām to reizinājumu un izmantojam vienības vektoru reizinājumu.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Tāpēc, ka i x i = j x j = k x k = 0 boja i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, tātad:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Ja C = A x B , tad C komponenti ir šādi:
Cx = AyBz – AzBy
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
