Punktu reizināšanas materiāls, izmantojot vienību vektoru komponentus
Skalāro reizinājumu varam aprēķināt tieši, ja zinām vektoru A un B x, y un z komponentes (zināmos vektorus).
Lai šādā veidā veiktu skalāro reizinājumu, vispirms veicam vienības vektoru skalāro reizinājumu, pēc tam izsakām vektorus A un B to komponentēs, sadalām reizinājumu un izmantojam vienības vektoru reizinājumu.
Vienības vektori i , j un k ir perpendikulāri viens otram, kas atvieglo aprēķinus. Izmantojot iepriekš atvasināto skalārā reizināšanas vienādojumu ( AB = AB cos theta ), iegūstam:
i.i = j.j = k.k = (1)(1), cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 ° = 0
Tagad mēs izsakām vektorus A un B to komponentu izteiksmē, sadalām to reizinājumu un izmantojam vienības vektoru reizinājumu.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Tāpēc, ka i . i = j . j = k . k = 1 un i . j = i . k = j . k = 0, tad:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A.B = A × B × ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Pamatojoties uz šī aprēķina rezultātiem, var secināt, ka divu vektoru skalārais reizinājums jeb skalārais reizinājums ir to līdzīgo komponentu reizinājumu summa.
1. jautājuma piemērs:
Liels vektors A boja B attiecīgi ir 5 un 4, kā parādīts attēlā zemāk. Izveidotais leņķis ir 90°oSaskaitiet to skalārais reizinājums abi vektori.
Diskusija
Pirms aprēķinām vektoru A un B skalāro reizinājumu, mums vispirms jāzina otrā vektora komponentes.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektoram A ir vektoru komponentes tikai x asī, un vektoram B ir vektoru komponentes tikai y asī. Z komponente ir nulle, jo vektori A un B atrodas xy plaknē.
Tagad aprēķinām vektoru A un B skalāro reizinājumu, izmantojot skalārā reizinājuma vienādojumu ar komponentu vektoriem:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Salīdzināsim to ar pirmo metodi
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultāts ir tāds pats.
2. jautājuma piemērs:
Liels vektors A boja B ir attiecīgi 5 un 4, kā parādīts attēlā zemāk. Aprēķiniet skalārais reizinājums abi vektori, ja izveidotais leņķis ir 30o
Diskusija
Pirms aprēķinām vektoru A un B skalāro reizinājumu, mums vispirms jāzina otrā vektora komponentes.
Z komponents ir nulle, jo vektori A un B atrodas xy plaknē.
Tagad aprēķinām vektoru A un B skalāro reizinājumu, izmantojot skalārā reizinājuma vienādojumu ar komponentu vektoriem:
Salīdziniet ar pirmo metodi.
