Bernoulli-Prinzip a Gleichungsmaterial
Wann mir zimlech séier Motorrad fueren, puffen d'Kleeder, déi mir undoen, hannen op. Wann Dir nach kee Motorrad fuere kënnt, passt op Är Elteren oder Frënn op, déi Motorrad fueren. De Réck vun hire Kleeder puffen normalerweis hannen op, wann d'Motorrad séier fiert. Heiansdo, wann de Wand staark bléist, kann d'Hausdier vun eleng zougoen. Och wann de Wand baussent dem Haus bléist, ass d'Dier am Haus.
Dëst kann mam Bernoulli-Prinzip erkläert ginn. Den Daniel Bernoulli (1700–1782) huet e Prinzip entdeckt, mat deem e puer vun den uewe genannten Saachen erkläert kënne ginn.
Bernoulli säi Prinzip
De Bernoulli-Prinzip seet, datt wou d'Flëssegkeetsvitesse héich ass, och den Drock niddreg ass. Am Géigendeel, wann d'Flëssegkeetsvitesse niddreg ass, gëtt den Drock héich. Wann e Motorrad séier fiert, ass d'Loftvitesse virun an nieft Ärem Kierper héich. Dofir gëtt den Drock niddreg. Den hënneschten Deel vun Ärem Kierper gëtt vun der viischter Säit vun Ärem Kierper blockéiert, sou datt d'Loftvitesse hannert Ärem Kierper net op héich ännert (direkt hannert Ärem Kierper). Dofir gëtt den Drock hannert Ärem Kierper méi grouss. Well et en Ënnerscheed am Loftdrock gëtt, wou den Drock direkt hannert Ärem Kierper méi grouss ass, dréckt d'Loft Äert Hiem no hannen, sou datt et ausgesäit, wéi wann et hannen opgeblosen wier.
Wat ass mat enger Dier, déi sech vun eleng zoumécht, wann de Wand dobausse staark bléist? D'Loft dobausse beweegt sech méi séier wéi d'Loft dobannen. Dofir ass den Loftdrock dobausse méi niddreg wéi den Loftdrock dobannen. Wéinst dësem Drockënnerscheed, wou den Loftdrock dobannen méi héich ass, gëtt d'Dier no bausse gedréckt. An anere Wierder, d'Dier beweegt sech vun enger Plaz mat méi héijem Loftdrock op eng Plaz mat méi niddregem Loftdrock.
Bernoulli-Equatioun
Mir hunn virdru scho vum Bernoulli-Prinzip geléiert. De Bernoulli huet dëse Prinzip och quantitativ entwéckelt. Fir d'Bernoulli-Gleichung ofzeleeden, gi mir vun engem stännegen, laminaren Flëssegkeetsstroum, Inkompressibilitéit a gerénger Viskositéit aus, déi ignoréiert kënne ginn.
An der Diskussioun vun der Kontinuitéitsgläichung hu mir geléiert, datt de Flëssegkeetsduerchfluss och jee no der Querschnittsfläch vum Duerchflussröhr variéiere kann. Baséierend op dem Bernoulli-Prinzip, deen uewe erkläert gouf, kann de Flëssegkeetsdrock och jee no der Flëssegkeetsduerchflussrate variéieren. De Flëssegkeetsdrock kann och jee no der Héicht vun der Flëssegkeet variéieren. D'Bezéiung tëscht Drock, Duerchflussrate a Duerchflusshéicht kann aus der Bernoulli-Gleichung ofgeleet ginn.
D'Bernoulli-Gleichung ass ganz wichteg, well se ka benotzt ginn, fir Fligerflich, Waasserkraaftwierker, Päifsystemer, etc. z'analyséieren. Fir datt d'Bernoulli-Gleichung, déi mir ofleeden, allgemeng uwendbar ass, gi mir dovun aus, datt d'Flëssegkeet duerch e Stroumrouer mat ongläiche Querschnittsflächen a verschiddenen Héichten fléisst (kuckt d'Figur hei ënnendrënner). Fir d'Bernoulli-Gleichung ofzeleeden, applizéieren mir den Aarbechts- an Energie-Theorem op d'Flëssegkeet am Stroumrouerberäich. Als nächst berechnen mir d'Quantitéit vun der Flëssegkeet an d'Aarbecht, déi gemaach gëtt, fir d'Flëssegkeet ze beweegen.
Déi opak Faarf am Duerchflussröhrchen am Bild weist e Flëssegkeetsfloss un, während déi wäiss Faarf keng Flëssegkeet ugeet.
D'Flëssegkeet an der Querschnittsfläch 1 (lénks Säit) fléisst eng Distanz L1 a forcéiert d'Flëssegkeet am Querschnitt 2 (riets Säit), eng Distanz L2 ze beweegen . Well d'Querschnittsfläch 2 op der rietser Säit méi kleng ass, ass de Flëssegkeetsduerchfluss op der rietser Säit vum Duerchflussröhr méi grouss (Denkt un d'Kontinuitéitsgläichung). Dëst verursaacht en Drockënnerscheed tëscht dem Querschnitt 2 (riets Säit vum Duerchflussröhr) an dem Querschnitt 1 (lénks Säit vum Duerchflussröhr) - Denkt un de Bernoulli-Prinzip. D'Flëssegkeet op der lénkser Säit vum Querschnitt 1 übt en Drock P1 op d'Flëssegkeet op der rietser Säit aus a mécht eng Aarbecht vun:
Dann kann d'Equatioun W1 als folgend geschriwwe ginn:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Um Querschnitt 2 (riets Säit vum Duerchflussröhrchen) ass d'Aarbecht, déi op der Flëssegkeet gemaach gëtt:
W2 = − p2A2L2
Dat negativt Zeechen weist un, datt déi ugewandte Kraaft géint d'Beweegungsrichtung ass. Dofir mécht d'Flëssegkeet Aarbecht riets vun der Sektioun 2. Zousätzlech mécht d'Schwéierkraaft och Aarbecht op d'Flëssegkeet. Am uewe genannten Fall gëtt eng gewësse Mass vu Flëssegkeet vun der Sektioun 1 bis L1 an d'Sektioun 2 bis L2 beweegt , wou de Volumen vun der Flëssegkeet an der Sektioun 1 (A1L1 ) = de Volumen vun der Flëssegkeet an der Sektioun 2 (A2L2 ) . D'Aarbecht , déi vun der Schwéierkraaft gemaach gëtt , ass :
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Dat negativt Zeechen ass doduerch bedingt, datt d'Flëssegkeet no uewe fléisst, géint d'Richtung vun der Schwéierkraaft. Dofir ass déi total Aarbecht, déi op der Flëssegkeet gemaach gëtt, wéi an der Figur uewen gewisen,:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Den Aarbecht-Energie-Theorem seet, datt déi total Aarbecht, déi op engem System gemaach gëtt, gläich ass wéi d'Ännerung vun senger kinetescher Energie. Dofir kënne mir d'Aarbecht (W) duerch d'Ännerung vun der kinetescher Energie (EK2 - EK1 ) ersetzen.
Mir kënnen d'Equatioun uewendriwwer als folgend ëmschreiwen:
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Mass vun der Flëssegkeet, déi eng Distanz L1 am Querschnitt A1 fléisst = Mass vun der Flëssegkeet, déi eng Distanz L2 fléisst ( Schnitt A2 ) . Eng Flëssegkeetsmass, zum Beispill m, huet e Volumen vun A1L1 an A2L2 , wou A1L1 = A2L2 ( L2 ass méi laang wéi L1 ).
Elo ersetzen mir, oder mir ersetzen m an der Equatioun uewen duerch m = ρ AL:
Dëst ass d'Bernoulli-Gleichung. Mir hunn d'Bernoulli-Gleichung op Basis vum Aarbecht-Energie-Prinzip ofgeleet, dofir ass et eng Form vum Gesetz vun der Erhalen vun der Energie.
Informatiounen:
P = Drock
ρ = Dicht vun der Flëssegkeet
v = Flëssegkeetsstroumgeschwindegkeet
g = Beschleunigung duerch d'Schwéierkraaft
h = Héicht vum Duerchflussréier/-Päif vun der Buedemuewerfläch
Déi lénks a riets Säit vun der Bernoulli-Gleichung uewendriwwer kënnen op zwou allgegenwärteg Punkten laanscht de Stroumungsrouer bezéien, sou datt mir d'Gleichung uewendriwwer als nei schreiwe kënnen:
Dës Equatioun seet, datt d'Gesamtzomm vun de Quantitéiten an der Equatioun deeselwechte Wäert am ganze Flossréier huet.
Loosst eis elo d'Bernoulli-Gleichung fir e puer Fäll iwwerpréiwen.
Bernoulli-Gleichung fir Flëssegkeeten a Rou
E Spezialfall vun der Bernoulli-Equatioun ass fir Flëssegkeeten a Rou (statesch Flëssegkeeten). Wann eng Flëssegkeet a Rou ass, huet se keng Geschwindegkeet. Dofir ass v1 = v2 = 0. Am Fall vun enger Flëssegkeet a Rou kann d'Bernoulli-Equatioun wéi follegt formuléiert ginn:
Wann h² - h¹ = h, dann kann dës Equatioun als folgend geschriwwe ginn:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρ gh
Bernoulli-Gleichung fir Stroumungsréier oder Päifen vun der selwechter Héicht
Wann d'Héicht vum Duerchflussrouer oder der Päif d'selwecht ass, da gëtt d'Bernoulli-Gleichung geännert op:
