Material vun der Kontinuitéitsgläichung
Probéiert de Waasserkran lues opzemaachen, während Dir de Waasserfloss aus dem Krunn kuckt. Soubal den Krunn ophält ze dréinen, blockéiert den Krunn deelweis mat Ärer Hand. Vergläicht elo, wéi ee Waasserfloss méi grouss ass. Wann deelweis verstoppt oder net verstoppt? Wann Dir e Schlauch hutt, deen normalerweis fir Blummen ze bewässeren benotzt gëtt, loosst d'Waasser duerchlafen. Blockéiert de Schlauch deelweis mat Ärer Hand oder Ärem Fanger. Wat méi en Deel vum Schlauch verstoppt ass, wat méi séier d'Waasser erausleeft. Am Géigendeel, wann de Schlauch net verstoppt ass, fléisst d'Waasser manner séier. Firwat ass dat sou? Fir dat ze verstoen, studéiert w.e.g. d'Kontinuitéitsgläichung.
Streamlines a Flow Tubes
Loosst eis als éischt d'Konzepter vu Stréimlinnen a Stroumréier verstoen. Dëse Konzept ass wichteg, well en Iech hëlleft, d'Kontinuitéitsgläichung ze verstoen.
Stroumlinn
Kuckt Iech d'Bild hei ënnendrënner un, déi blo Linn ass d'Streamline.
Bei engem stännege Floss bleift d'Geschwindegkeet vun all Flëssegkeetspartikel un engem Punkt, zum Beispill de Punkt A, konstant. Wann et laanscht de Punkt B geet, kann d'Geschwindegkeet vun de Flëssegkeetspartikelen sech änneren. Wéi se awer um Punkt B ukommen, fléissen d'Flëssegkeetspartikelen, déi hannendrun kommen, weider mat der selwechter Geschwindegkeet wéi d'Flëssegkeetspartikelen, déi hinne virgaange sinn. Datselwecht gëllt fir d'Ukënnegung um Punkt C, asw. D'Stréimlinn ass d'Kurv, déi d'Punkten A, B an C verbënnt.
Duerchflussrohr
Am Fong kënne mir all Stréimlinn duerch all Punkt am Flëssegkeetsstroum zeechnen. Wa mir e stännege Flëssegkeetsstroum betruechten, bilden eng Rei vu Stréimlinnen, déi duerch e bestëmmte Wénkel op enger imaginärer Uewerfläch (imaginärer Uewerfläch) lafen, e Stréimungsrouer. Keng Flëssegkeetspartikelen schneiden sech géigesäiteg, mä si sinn ëmmer parallel, an de Stréimungsrouer gläicht engem Rouer, dat ëmmer déiselwecht Form huet. Flëssegkeet, déi un engem Enn vum Rouer erakënnt, verléisst de Rouer um aneren Enn.
Ofbuchung
D'Entladung weist de Volumen vun enger Flëssegkeet un, déi duerch e bestëmmte Querschnitt an engem bestëmmten Zäitintervall fléisst. Mathematesch kann dat wéi follegt ausgedréckt ginn:
Fir Äert Verständnis besser ze verstoen, loosst eis e Beispill huelen. Stellt Iech vir, datt eng Flëssegkeet duerch e Rouer fléisst. Réier si meeschtens zylindresch an hunn eng spezifesch Querschnittsfläch. D'Réier huet och eng Längt.
Wann d'Flëssegkeet am Rouer bis zu L fléisst, dann ass de Volumen vun der Flëssegkeet am Rouer V = AL (V = Flëssegkeetsvolumen, A = Querschnittsfläche an L = Rouerlängt). Well d'Flëssegkeet während dem Floss am Rouer laanscht L e bestëmmten Zäitintervall duerchleeft, kënne mir soen, datt d'Gréisst vum Flëssegkeetsoflaf ass:
Well v = s/t = L/t —> L = vt, gëtt d'Equatioun uewen geännert op:
Also, wann Flëssegkeet duerch e Rouer fléisst, dat eng bestëmmte Querschnittsfläch a Längt fir e bestëmmten Zäitintervall huet, ass d'Gréisst vum Flëssegkeetsoflaf (Q) gläich der Querschnittsfläch (A) multiplizéiert mat der Flëssegkeetsstroumgeschwindegkeet (v).
Kontinuitéitsgläichung
Betruecht de Flëssegkeetsfloss an engem Päif mat verschiddenen Duerchmiesser, wéi an der Figur hei ënnendrënner gewisen.
Dëst Bild weist de Flëssegkeetsfloss vu lénks no riets (Flëssegkeet fléisst vun engem Rouer mat engem groussen Duerchmiesser an e Rouer mat engem klengen Duerchmiesser). Déi gepunkelt Linne sinn Stréimlinnen.
Bildbeschreiwung: A1 = Querschnittsfläche vum Rohrsektioun mat groussen Duerchmiesser, A2 = Querschnittsfläche vum Rohrsektioun mat klengem Duerchmiesser, v1 = Flëssegkeetsstroumgeschwindegkeet am Rohrsektioun mat groussen Duerchmiesser, v2 = Flëssegkeetsstroumgeschwindegkeet am Rohrsektioun mat klengem Duerchmiesser, L = Distanz déi vun der Flëssegkeet zréckgeluecht gëtt.
An der Aféierung an d'Fluiddynamik gouf erkläert, datt mir an der Fluiddynamik de Floss vu Flëssegkeete diskutéieren, déi inkompressibel, onviskos, net-turbulent a stänneg sinn. Am stännege Floss ass d'Geschwindegkeet vun de Flëssegkeetspartikelen un engem Punkt d'selwecht wéi d'Geschwindegkeet vun anere Flëssegkeetspartikelen, déi duerch dee Punkt lafen. D'Flëssegkeetsstréim schneiden sech och net (d'Stréimlinne si parallel). Dofir muss d'Mass vun der Flëssegkeet, déi an een Enn vum Rouer erakënnt, gläich sinn, wéi d'Mass vun der Flëssegkeet, déi dat anert Enn verléisst. Wann eng Flëssegkeet mat enger bestëmmter Mass an e Rouer mat engem groussen Duerchmiesser erakënnt, da verléisst d'Flëssegkeet d'Rouer mat engem klengen Duerchmiesser an enger konstanter Mass.
Kuckt Iech elo d'Bild vum Päif uewen un. Kuckt Iech den Deel vum Päif mam groussen Duerchmiesser an den Deel vum Päif mam klengen Duerchmiesser un.
Wärend engem bestëmmten Zäitintervall fléisst eng gewëssen Quantitéit u Flëssegkeet duerch en Deel vun engem Rouer mat engem groussen Duerchmiesser (A).1) sou wäit wéi L1 (L1 =v1 t). De Volumen vun der fléissender Flëssegkeet ass V1 = A.1 L1 = A.1 v1 t. Wärend dem selwechten Zäitintervall fléisst eng aner Quantitéit u Flëssegkeet duerch eng Sektioun vun engem Rouer mat engem méi klenge Duerchmiesser (A).2) sou wäit wéi L2 (L2 =v2 t). De Volumen vun der fléissender Flëssegkeet ass V2 = A.2 L2 = A.2 v2 t.
Kontinuitéitsgläichung fir inkompressibel Flëssegkeeten (onkompressibel)
Als éischt betruechte mer de Fall vun enger inkompressiver Flëssegkeet. An enger inkompressiver Flëssegkeet ass d'Dicht, oder d'Mass, vun der Flëssegkeet ëmmer déiselwecht op all Punkt, duerch déi se fléisst. D'Mass vun der Flëssegkeet, déi an engem Rouer mat enger Querschnittsfläch A1 ( dem groussen Duerchmiesser vun der Rouer) während engem bestëmmten Zäitintervall fléisst, ass:
Och d'Mass vun der Flëssegkeet, déi an engem Rouer mat enger Querschnittsfläch vun A2 (klengen Duerchmiesser vum Rouer) während engem bestëmmten Zäitintervall fléisst, ass :
Wann ee bedenkt, datt bei engem stännege Floss d'Mass vun der erantrëttender Flëssegkeet d'selwecht ass wéi d'Mass vun der erauskommender Flëssegkeet, dann:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (Flëssegkeetsdicht an Zäitintervall sinn d'selwecht, dofir annuléiere se sech)
A 1 géint 1 = A 2 géint 2
Also, an inkompressible Flëssegkeeten gëllt d'Kontinuitéitsgläichung:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Equatioun 1
Informatiounen:
A1 = Querschnittsfläche 1, A2 = Querschnittsfläche 2, v1 = Flëssegkeetsduerchflussgeschwindegkeet am Querschnitt 1, v2 = Flëssegkeetsduerchflussgeschwindegkeet am Querschnitt 2, Av = Volumenduerchflussrate V/t aka Oflaf
D'Equatioun 1 weist, datt de Volumenduerchfluss, och bekannt als Oflaf, ëmmer d'selwecht ass op all Punkt laanscht e Rouer oder Duerchflussrouer. Wann de Rouerquerschnëtt ofhëlt, klëmmt de Flëssegkeetsduerchfluss; am Géigendeel, wann de Rouerquerschnëtt eropgeet, hëlt de Flëssegkeetsduerchfluss of.
Wann mir den Krunn deelweis zoumaachen, gëtt de Waasserfloss méi séier wéi wann den Krunn deelweis zou ass. Dëst läit dorun, datt d'Querschnittsfläch vum Krunn erofgeet wann den Krunn deelweis zou ass, wouduerch de Waasserfloss eropgeet (d'Flëssegkeet fléisst méi séier). Datselwecht gëllt fir Schläich. Et ass awer wichteg ze bemierken, datt den Auslaf oder de Volumenfloss op all Punkte vum Waasserfloss d'selwecht bleift, egal ob den Krunn deelweis zou ass oder net. Wat sech also ännert, ass de Flëssegkeetsfloss.
Wéi ass et dann mam Waasserfloss an engem Floss? Déif Deeler vun engem Floss hunn e méi grousse Querschnitt wéi méi flaach Deeler, sou datt d'Waasserflossgeschwindegkeet an déifere Deeler méi niddreg ass wéi a méi flaache Deeler. Wann Dir e ganz rouege Flossfloss gesitt, heescht dat, datt de Floss déif ass. Mee wann de Floss op eemol séier fléisst, ass dësen Deel definitiv flaach. Wéi och ëmmer, d'Waasservolumenflossgeschwindegkeet ass ëmmer déiselwecht, egal ob an déiwen oder rouegen Deeler vum Floss.
Kontinuitéitsgläichung fir kompressibel Flëssegkeeten (kompriméierbar)
Am Fall vun kompressible Flëssegkeeten ass d'Dicht vun der Flëssegkeet net ëmmer déiselwecht. An anere Wierder, d'Dicht vun der Flëssegkeet ännert sech beim Kompresséiere. Wärend bei inkompressible Flëssegkeeten d'Dicht vun der Flëssegkeet aus der Equatioun eliminéiert gëtt, ass an dësem Fall d'Dicht vun der Flëssegkeet ëmmer nach abegraff. Mat Bezuch op déi virdru ofgeleet Equatioun, loosst eis d'Equatioun fir kompressibel Flëssegkeeten ofleeden.
Wann ee bedenkt, datt bei engem stännege Floss d'Mass vun der erantrëttender Flëssegkeet d'selwecht ass wéi d'Mass vun der erauskommender Flëssegkeet, dann:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Den Zäitintervall vum Flëssegkeetsfloss ass dee selwechten, sou datt en eliminéiert ka ginn. D'Equatioun ännert sech op:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Equatioun 2
Dëst ass d'Equatioun fir eng kompressibel Flëssegkeet. Den eenzegen Ënnerscheed läit an der Dicht vun der Flëssegkeet. Wann eng Flëssegkeet kompriméiert gëtt, ännert sech hir Dicht. Am Géigendeel, wann eng Flëssegkeet net kompressibel ass, bleift hir Dicht konstant a kann ausgeschalt ginn.
Beispill Fro 1:
Waasser fléisst duerch e Rouer mat engem Duerchmiesser vun 10 cm mat enger Geschwindegkeet vun 2 m/s. Wéi héich ass den Oflaf vum Waasser?
Diskussioun
Et ass bekannt, datt:
Rohrdurchmesser = 10 cm (dëst ass den banneschten Duerchmiesser vum Rohr)
Radius vum Rouer (r) = 5 cm = 0,05 m
v Waasser = 2 m/s
Gefrot: Debit
Äntwert:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Beispill Fro 2:
Eng Waasserleitung mat engem Duerchmiesser vun 20 cm ass mat enger anerer Leitung mat engem Duerchmiesser vun 10 cm verbonnen. Wann d'Waasserduerchflussquote an der Leitung mat engem Duerchmiesser vun 20 cm = 4 m/s ass, wéi ass dann d'Waasserduerchflussquote an der Leitung mat engem Duerchmiesser vun 10 cm?
Diskussioun
Et ass bekannt, datt:
Duerchmiesser 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/ s
Duerchmiesser 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Gefrot: v 1
Äntwert:
Q 1 = Q 2
A 1 géint 1 = A 2 géint 2
(π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/ s
