Undae stantes – problemata et solutiones
1. Funis trium metrorum uno extremo ligatur, altero autem extremo vibratori coniungitur. Cum vibrator vibratur, funis undam stationariam format , ut in figura infra demonstratur.
Determina situm quinti antinodi ab extremo fixo.
solution:
Distantia inter duos nodos = 3 metra / 5 = 3/5 metra.
Spatium inter primum nodum et finem fixum = 3/5 metra
Spatium inter nodum secundum et finem fixum = 2 (3/5 metra) = 6/5 metra
Spatium inter tertium nodum et finem fixum = 3 (3/5 metra) = 9/5 metra
Spatium inter nodum quartum et finem fixum = 4 (3/5 metra) = 12/5 metra
Distantia inter nodum et antinodum = 1/2 (3/5 metra) = 3/10 metra.
Distantia inter quintum antinodum et extremum fixum = distantia inter quartum nodum et extremum fixum + distantia inter nodum et antinodum = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metra.
2. Ut in figura infra demonstratur, unum extremum vibratori coniunctum est, alterum autem fixum. Si longitudo chordae 1.5 metra est, distantiam inter quartum nodum et vibratorem inveni.
solution:
Distantia inter duos nodos = 1.5 metra / 11 = 1.5 / 11 metra.
Distantia inter primum nodum et vibratorem = 1.5 / 11 metra
Distantia inter nodum secundum et vibratorem = 2 (1.5 / 11 metra) = 3/11 metra
Distantia inter tertium nodum et vibratorem = 3 (1.5 / 11 metra) = 4.5 / 11 metra
Distantia inter quartum nodum et vibratorem = 4 (1.5 / 11 metra) = 6/11 metra = 0.54 metra
3. Chorda ambobus extremitatibus fixis servatis tonum fundamentalem frequentiae 420 Hz producit. Tertium supertonum determina.
A. 840 Hz
B. 1260 Hz
C. 1680 Hz
D. 2940 Hz
Notum:
Frequentia fundamentalis (f1 ) = 420 Hz
Utraque extremitas fixa manet.
Quaesitum: tertium toni
solution:
Primus supertonus (f² ) = 2 f¹ = 2 (420 Hz) = 840 Hz
Secundus supertonus (f³ ) = 3 f¹ = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
Tertius supertonus (f⁴ ) = 4 f⁴ = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
Responsum rectum est C.
4. Longitudo undae primi toni supersonici chordae est 40 cm. Si celeritas undae soni in aere est 340 m/s, tertium tonum supersonicum determina.
A. 850 Hz
B. 1600 Hz
C. 1700 Hz
D. 3200 Hz
Notum:
Longitudo undae primi toni supersonici (λ) = 40 cm = 0.4 metra
Celeritas undae soni in aere (v) = 340 metra/secundum
Quaesitum: frequentia tertii toni supratoni
solution:
Infra est figura undae stantis in chorda cum ambobus extremis fixis servatis. Primo, longitudinem chordae computa utens longitudine undae primi toni. Deinde, antequam frequentiam tertii toni calcules, primum, longitudinem undae tertii toni calcula.
Longitudo undae primi toni supratoni:
Longitudo chordae (L) = 2. ½ λ
Longitudo chordae (L) = λ
Longitudo funis (L) = 0.4 metra
Longitudo undae tertii toni supratonalis:
L = 2 λ
0.4 = 2 λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 metra
Frequentia tertii toni supratonalis:
f = v / λ
f = 340 : 0.2
f = 1700 Hertz
Responsum rectum est C.
5. Tubus utrinque apertus, longitudine 40 cm, tonum fundamentalem frequentiae 420 Hz producit. Secundum supertonum determina.
A. 380 Hz
B. 460 Hz
C. 840 Hz
D. 1260 Hz
Notum:
Longitudo tubi (L) = 40 cm = 0.4 metra
Frequentia toni fundamentalis (f1 ) = 420 Hertz
Quaesitum: Frequentia secundi toni supratonalis ( f³ )
solution:
Si tonus fundamentalis (f₁ ) = 420 Hertz, tunc secundus overtonus (f₃ ) = 3 f₁ = 3 (420 Hertz) = 1260 Hertz.
Responsum rectum est D.
6. Unda soni in tubo clauso figuram undae similem habet…
A. Propagatio undae in filo
B. Propagatio undae in columna aeris
C. Unda stans in filo uno extremo fixa
D. Unda stans in filo utroque fine fixa
solution:
Tubus clausus est tubus uno extremo apertus sed altero clausus, ut in figura supra demonstratur.
Responsum rectum est C.
Viginti quaestiones conceptuales et responsa ad undas stantes pertinentia:
1. Quaestio: Quid est unda stans?
Responsum: Unda stans est forma undae quae immobilis manere videtur, cum nodis et antinodis, ex interferentia duarum undarum in directionibus oppositis iter facientium orta.
2. Quaestio: Quo modo nodi et antinodi differunt?
Responsum: Nodi sunt puncta amplitudinis nullae, ubi unda quiescit, dum antinodi sunt puncta amplitudinis maximae.
3. Quaestio: Num undae stantes in quolibet medio formari possunt?
Responsum: Undae stantes in quolibet medio quod propagationem undae permittit, ut in chordis, columnis aeris, et aqua, formari possunt.
4. Quaestio: Quomodo frequentia undae stantis ad numerum harmonicum eius refertur?
Responsum: Frequentia fundamentalis (prima harmonica) est infima frequentia undae stantis. Harmonicae superiores frequentias habent quae sunt multiplices integri frequentiae fundamentalis.
5. Quaestio: Quid loca nodorum in unda stante determinat?
Responsum: Nodi formantur ubi undae in directiones oppositas migrantes destructive interferunt, se invicem tollentes.
6. Quaestio: Quomodo undae stantes in filo utroque fine fixae creantur?
Responsum: Cum unda per filum descendens in extremo fixo reflectatur, undas incidentes interfert, figuram undae stantem creans si frequentiae certis condicionibus congruunt.
7. Quaestio: Quaenam est relatio inter longitudinem undae et longitudinem medii in unda stante?
Responsum: Filo utroque extremo fixae, longitudo medii est multiplex integrum dimidiae longitudinis undae undae stantis.
8. Quaestio: Cur undae stantes energiam trans medium non transferunt?
Responsum: Dum particulae singulae in medio oscillant, forma undae universa immota manet, ergo nulla est translatio energiae netta in ullam directionem particularem.
9. Quaestio: Num undas stantes in tubis apertis observare potes?
Responsum: Ita, undae stantes in tubis apertis formari possunt, sed condiciones limites a tubis clausis differunt, positiones nodi et antinodi afficientes.
10. Quaestio: Quid undae stanti accidit cum tensio in chorda augetur?
Responsum: Augmentatio tensionis celeritatem undae auget, quae frequentiam et formam undae stantis mutare potest.
11. Quaestio: Quomodo resonantia ad undas stantes refertur?
Responsum: Resonantia fit cum vis externa vel vibratio frequentiae naturali systematis aequatur, undam stantem pronuntiatam creans.
12. Quaestio: Quid est frequentia fundamentalis?
Responsum: Frequentia fundamentalis, sive prima harmonica, est infima frequentia ad quam systema undam stantem sustinere potest.
13. Quaestio: Quomodo harmonicae ad toni supersonicos referuntur?
Responsum: Toni supersonici sunt frequentiae supra frequentiam fundamentalem. Primus tonus supersonicus secundae harmonicae respondet, secundus tonus supersonicus tertiae harmonicae, et sic porro.
14. Quaestio: Cur nulla est dislocatio in nodis?
Responsum: Ad nodos, duae undae interferentes ex phase 180° sunt, quod interferentiam destructivam et dislocationem nullam efficit.
15. Quaestio: Num undae stantes polarizari possunt?
Responsum: Undae stantes in chorda sunt transversales et ergo directionem oscillationis (polarizationis) habent. Attamen, in medio ut aere, undae soni stantes longitudinales sunt et polarizationem non exhibent.
16. Quaestio: Cur instrumenta musica principio undarum stantium utuntur?
Responsum: Instrumenta musica saepe sonum generant undas stantes creando, cum harmonicae diversae notas musicas diversas producant.
17. Quaestio: Quomodo celeritas undae ad frequentiam et longitudinem undae undae stantis refertur?
Responsum: Celeritas undae (v) est productum frequentiae (f) et longitudinis undae (λ): v = fx λ.
18. Quaestio: Possuntne duae frequentiae diversae undas stantes in eodem medio producere?
Responsum: Ita, dummodo frequentiae condicionibus undarum stantium in illo medio respondeant. Quaeque frequentia harmonicam diversam repraesentat.
19. Quaestio: Quo modo undae stantes in tubis clausis ab illis in tubis apertis differunt?
Responsum: In tubis clausis, unum extremum nodum habet, alterum autem antinodum. In tubis apertis, ambo extremi antinodos habent.
20. Quaestio: Possuntne undae stantes quavis frequentia in dato medio formari?
Responsum: Non, solae frequentiae specificae quae condiciones limites medii implent undas stantes producent.
Intellectus undarum stantium maximi momenti est in variis campis, a musica ad telecommunicationes, cum hae mores undarum fundamentales sub condicionibus specificis repraesentent.
