Fontes in serie et parallelo – problemata et solutiones

1. Res 160 grammatum uno extremo fontis adhaeret et mutatio longitudinis fontis est 4 cm. Quae est mutatio longitudinis trium...? Fontes in serie et parallelo connexi, ut in figura infra demonstratur?

Notum:

Mutatio longitudinis fontis (Δx) = 4 cm = 0.04 m Fontes in serie et parallelo – problemata et solutiones 1

Missam (m) = 160 grammata = 0.16 kg

Gravitas acceleratrix (g) = 10 m/s²

Pondus (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newtoni

Quaesitum: Mutatio longitudinis trium fontium (Δx)

solution:

Aequatio Lex Hookeiana :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Tres fontes eandem constantem habent, k = 40 N/m.

Constantem aequivalentem determina:

Ver 2 (k)₂) et fons 3 (k₃) tara paralleliter coniuncta. Constans aequivalens:

k₂₃ = k₂ K +₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Ver 1 (k)₁) et fons 23 (k₂₃) in serie coniunguntur. Constans aequivalens:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Determina mutationem longitudinis trium fontium:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tres fontes cum eadem constante in serie et parallele connexi, et obiectum 2 kg ponderis uno extremo fontis affixum, ut in figura infra demonstratur. Constans fontis est k.₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Quaenam est mutatio longitudinis trium fontium? Acceleratio gravitatis est g = 10 ms.^-2.

Notum:

Constans elastica k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms^-2

Massa obiecti (m) = 2 kg

Pondus obiecti (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtoni

Vide quoque Lex Kirchhoffiana – problemata et solutiones

Quaesitum: Mutatio longitudinis trium fontium (Δx)

solution:

Constantem aequivalentem determina:

Ver 1 (k)₁) et fons 2 (k₂) paralleliter coniunguntur. Constans aequivalens:

k₁₂ = k₁ K +₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Ver 3 (k)₃) et fons 12 (k₁₂) in serie coniunguntur. Constans aequivalens:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Mutationem longitudinis trium fontium determina:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tres fontes serie et parallele coniunguntur, ut in figura infra demonstratur. Si constans fontis k = 50 Nm^-1 et massa quadringentorum grammatum uni extremo fontis adnexam. Quae est mutatio longitudinis trium fontium?

Notum:

Constans elastica 1 (k)₁) = k = 50 Nm^-1

Constans elastica 2 (k)₂) = k = 50 Nm^-1

Constans elastica 3 (k)₃) = 2k = 2 (50 Nm)^-1) = 100 Nm^-1

Massa obiecti (m) = 400 grammata = 0.4 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s²

Pondus obiecti (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newtoni

Quaesitum: Mutatio longitudinis (Δx)

solution:

Constantem aequivalentem determina:

Ver 1 (k)₁) et fons 2 (k₂) paralleliter coniunguntur. Constans aequivalens:

k₁₂ = k₁ K +₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Ver 3 (k)₃) et fons 12 (k₁₂) in serie coniunguntur. Constans aequivalens:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Mutationem longitudinis trium fontium determina:

Δx = w / k = 4 / 50 = 0.08 m = 8 cm

Quomodo coniunctio spirarum in serie constantem elasticam generalem afficit?
- Responsum: Cum spirae in serie coniunguntur, constans spiralis totius reducitur. Reciprocum constantis spiralis aequivalentis est summa reciprocorum constantium spiralium singularum: 1/k. $=1/ k ^{1} + 1/ k ^{2}$ .
Quomodo constans elastica totius mutatur cum elasticae paralleliter iunguntur?
- Responsum: Coniunctio spirarum parallelarum efficit constantem elasticam generalem quae est summa constantium singularum spirarum: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Si duo fontes identici in serie disponuntur, quomodo constans elastica combinata cum constante elastica unius fontis singularis comparatur?
- Responsum: Constans elastica composita erit dimidium constantis elasticae unius ex singulis fontibus.

Quid fit extensioni vel compressioni elastrum in serie cum vis adhibetur?
- Responsum: In fontibus in serie, eadem vis singulos fontes extendere vel comprimere facit, sed extensio (vel compressio) totalis est summa extensionum (vel compressionum) singulorum fontium.

Si fontes paralleli vi subiciuntur, quomodo ea vis distribuitur?
- Responsum: In fontibus parallelis, vis inter fontes distribuitur secundum constantes eorum. Fontes cum constante elastica altiore maiorem partem vis ferent quam ii cum constante elastica minore.
Cur fontes in serie tamquam unus fons longiore considerari possunt?
- Responsum: Fontes in serie coniuncti effectum compositum habent aequivalentem extensioni unius fontis longioris. Extensiones sive compressiones singulorum fontium adsumuntur, sicut in fonti singulari longiore.

Quomodo energia potentialis in fontibus seriei positis reposita comparatur cum ea in fontibus parallelis positis, pro eadem vi applicata?
- Responsum: Fontes in serie coniuncti plus energiae potentialis quam fontes paralleli condunt pro eadem vi applicata, quia maiorem extensionem vel compressionem coniunctam subeunt.
Si unus e fontibus in configuratione parallela frangitur vel inefficax fit, quid de toto systematis comportamento accidit?
- Responsum: Si unus fons in configuratione parallela frangitur, reliqui fontes adhuc fungentur. Attamen, constans generalis fontis systematis minuetur, et systema non poterit tantam vim restituentem exercere quam antea.

Cur elastica in serie posita deformationibus maioribus obnoxia sunt quam ea in parallelo, eadem vi applicata?
- Responsum: In serie fontium, eadem vis in singulos fontes agit, efficiendo ut singuli extendantur vel comprimantur. Deformatio totalis est summa deformationum singularum. Parallelaliter, vis inter fontes distribuitur, ita ut singuli vim effectivam imminutam patiantur, quod ad deformationes singulares minores ducit.
In applicationibus practicis, cur ingeniarii elas parallele potius quam serie uti malint?

Responsum: Ingeniarii fortasse fontes parallelos eligunt ut constantem elasticam generalem altiorem consequantur, quo fit ut rigidior sit. Haec dispositio etiam redundantiam praebere potest; si unus fons deficit, systema pergit fungi, quamvis cum constante elastica generali reducta.