Momentum inertiae particularum – problemata et solutiones

1. Duae pilae virga coniunctae, ut in figura infra demonstratur. Massam virgae neglege . Massa pilae P est 600 grammata et massa pilae Q est 400 grammata. Quod est momentum inertiae systematis respectu AB?

Notum:

Axis rotationis est AB. Momentum inertiae particulis – problemata et solutiones 1

m _p = 600 grammata = 0.6 kg, m _q = 400 grammata = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _rq = 50 cm = 0.5 m_.

Quaesitum: Momentum inertiae systematis

solution:

I = ^m^p_r p² ₊ m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Virga AB massa 2 kg circa punctum A rotata est, momentum inertiae virgae 8 kg m² est ^. Si circa punctum O (AO = OB) rotatur, quod est momentum inertiae virgae?

Notum: Momentum inertiae particulis – problemata et solutiones 2

Massa virgae AB (m) = 2 kg

Si circa punctum A rotatur ita ut radius rotationis (r) = longitudo AB = r, tunc momentum inertiae (I) = 8 kg ^m²

Quaesitum: Si circa punctum O rotatur ita ut radius rotationis (r) = longitudo AO = longitudo OB = 1/2 r, quid est momentum inertiae virgae?

solution:

Ego = Dominus ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 metra

Si circa punctum O rotatur, ita ut ½ r = 1 metrum, momentum inertiae:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m²) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Duae pilae virga coniunctae ut in figura infra monstratur. Massam virgae neglege. Quid est momentum inertiae systematis?

Notum:

Massa pilae A (m_A) = 200 grammata = 0.2 kg Momentum inertiae particulis – problemata et solutiones 3

Massa pilae B (m² _B ) = 400 grammata = 0.4 kg

Distantia inter pilam A et axem rotationis (rA ₎ = 0

Distantia inter pilam B et axem rotationis (rₑB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Quaesitum: Momentum inertiae systematis

solution:

Momentum inertiae pilae A:

IA ₌ (mA ₎ (rA² ⁾₌ (0.2)(0) ^² = 0

Momentum inertiae pilae B:

IB ₌ (mB ₎ (rB² ₎ = (0.4)(0.25) ^²⁼ (0.4)(0.0625) = 0.025 kg ^m²

Momentum inertiae systematis:

I = IA ₊ IB ₌ 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 × ^10⁻³ kg ^m²

4. Quattuor particulae cum diversis massis, in figura infra monstratae. Momentum inertiae systematis circa lineam horizontalem P determina.

Solutio

Axis rotationis est linea horizontalis P.

Notum: Momentum inertiae particulis – problemata et solutiones 4

Massa particulae A (m² _A ) = m²

Massa particulae B (m² _B ) = 2m²

Massa particulae C (m² _C ) = 3 m²

Transitus particularum D (m²/ _D² ) = 4m²

Distantia inter particulam A et axem rotationis (rA ₎ = b

Distantia inter particulam B et axem rotationis (rₑB ₎ = b

Distantia inter particulam C et axem rotationis (r _C ) = 2b

Distantia inter particulam D et axem rotationis (r₂D ₎ = 2b

Quaesitum: Momentum inertiae systematis circa lineam horizontalem P

solution:

I ⁼_mA r _A² + _mB r _B² + _mC r _C² + _mD r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Quattuor particulae virga connexae. Massam virgae neglege. Momentum inertiae circa axem rotationis per particulas m₁ et m₂ determina _, ut _in figura infra demonstratur.

known

Massa particulae 1 (m²)₁) = 1/4 kg Momentum inertiae particulis – problemata et solutiones 5

Massa particulae 2 (m⁴ ₎ = ¼ kg

Massa particulae 3 (m⁴ ₎ = ¼ kg

Massa particulae 4 (m⁴ ₎ = ¼ kg

Distantia inter particulam 1 et axem rotationis (r² ₎ = 0

Distantia inter particulam 2 et axem rotationis (r² ₎ = 0

Distantia inter particulam 3 et axem rotationis (r⁴ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m.

Distantia inter particulam 4 et axem rotationis (r⁴ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m.

Quaesitum: Momentum inertiae

solution:

^Ego = _m₁ r₁² + _m₂ r₂² + _m₂ r₃² + _m₃ r₃²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Quod est momentum inertiae particulae?
- Et respondendum est,Pro singula particula massae $m$ procul $r$ ab axe rotationis, momentum inertiae eius $I$ quod a $I = m \times r^{2}$ .
Cur momentum inertiae saepe "analogus rotationalis" massae appellatur?
- Et respondendum est,Sicut massa est mensura resistentiae obiecti ad mutationes motus translationis (propter legem secundam Newtoni), momentum inertiae est mensura resistentiae obiecti ad mutationes motus rotationis.
Quomodo mutatio distantiae particulae ab axe rotationis suae momentum inertiae eius afficit?
- Et respondendum est,Momentum inertiae proportionale est quadrato distantiae ab axe rotationis. Si distantiam duplicas, momentum inertiae quadruplo augebitur.
Cur quadratum distantiae (r) est²) in formula pro momento inertiae loco solae distantiae adhibita est?
- Et respondendum est,Quadratum distantiae adhibetur propter modum quo energia cinetica in rotatione operatur. In motu rotatorio, quaeque particula obiecti ad energiam cineticam rotationis confert, secundum massam suam et distantiam ab axe quadratam.
Quomodo momentum inertiae particulae mutatur si massa eius triplicatur, distantia ab axe constans manente?
- Et respondendum est,Si massa triplicatur et distantia constans maneat, momentum inertiae etiam triplicabitur, quia massae directe proportionale est.
Num momentum inertiae nullum habere potest particula? Si ita, sub qua condicione?
- Et respondendum est,Ita, particula momentum inertiae nullum habebit si directe in axe rotationis sita est, ita ut distantia eius... $r$ ab axe aequali nihilo.
Cur diversa obiecta eadem massa et magnitudine diversa momenta inertiae habent cum circa diversos axes rotantur?
- Et respondendum est,Distributio massae circa axem rotationis momentum inertiae determinat. Etiam si duo obiecta eandem massam et magnitudinem habent, distributiones massae eorum relativae ad axem rotationis differre possunt, quod ad diversa momenta inertiae ducit.
Estne momentum inertiae quantitas scalaris an vectorialis?
- Et respondendum est,Momentum inertiae est quantitas scalaris. Attamen, pro corporibus rigidis cum formis complexis et axibus rotationis multiplicibus, tensore repraesentatur.
Si duae particulae, quarum utraque massa est $m$ , distantibus locis sitae sunt $r_{1}$ et $r_{2}$ Ab axe rotationis, quid est momentum inertiae compositum?
- Et respondendum est,Momentum inertiae additivum est pro particulis separatis. Ergo, momentum inertiae compositum $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Quomodo momentum inertiae ad conservationem momenti angularis refertur?
- Et respondendum est,Momentum angulare $L$ est productum momenti inertiae $I$ et velocitas angularis $ω$ , aequatione repraesentata $L = I \times ω$ Si nullae torsiones externae in systema agunt, momentum angulare constans manebit. Hoc significat si momentum inertiae mutatur (ut in patinatore artistico brachia trahente), velocitas angularis accommodari debet ut productum constans maneat.