Conservatio energiae mechanicae in superficiebus curvatis – problemata et solutiones

Conservatio energiae mechanicae in superficiebus curvatis – problemata et solutiones

1. Si celeritas pilae ad punctum A est 6 m/s, celeritas pilae ad punctum B est √92 m/s, et acceleratio gravitatis est g = 10 m/s² ^. Quae est altitudo puncti B (h)?

Notum:

Celeritas pilae ad punctum A (v)_A) = 6 m/s

Celeritas pilae ad punctum B (vₑB ₎ = √92 m/s

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Altitudo A (hA ₎ = 5.6 metra

Altitudo B (h₁₁B ₎ = h₂

Quaesita: Altitudo puncti B (h)

solution:

Energia mechanica initialis = energia potentialis gravitationalis

In puncto A, celeritas pilae = 0, ergo energia cinetica pilae = 0. KE = 1/2 mv² ⁼ 1/2 m (0) = 0.

Pila ad altitudinem 5.6 metrorum, ergo pila energiam potentialem gravitatis habet. Energia potentialis gravitatis : PE = mgh = m(10)(5.6) = 56 m.

Energia mechanica initialis = energia potentialis gravitatis + energia cinetica = 56 m + 0 = 56 m

Energia mechanica finalis = energia potentialis gravitationalis + energia cinetica

In puncto B, altitudo pilae est h. Energia potentialis gravitatis: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

Energia cinetica pilae: KE = 1/2 mv² ⁼ 1/2 m (√92) ^² = 1/2 m (92) = 46 m.

Energia mechanica finalis = energia potentialis gravitatis + energia cinetica = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

Principium conservationis energiae mechanicae:

Energia mechanica initialis = energia mechanica finalis

56 m = m (10 h + 46)

56 = 10 horas + 46

56 – 46 = 10 horae

10 = 10 horae

h = 10/10

h = 1 metra

2.

Si velocitas initialis = 0, acceleratio gravitatis = 10 m/s² ^, quae igitur est celeritas ad altitudinem B?

Notum:

Celeritas initialis (v _o ) = 0

Altitudo initialis (h₂ ₎ = 50 m – 10 m = 40 m

Altitudo finalis (ht ₎ = 0

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^-2

Quaesita: Celeritas finalis ( _vt )

solution:

Mutatio energiae cineticae:

KE = 1/2 m ( v _t ² - v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² - 0) = 1/2 mv _t ²

Mutatio energiae potentialis:

ΔPE = mg (h₁₁₂ _– h₂₂o ₎ = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = –400 m

Celeritatem finalem (vt) computa _utens aequatione principii conservationis energiae mechanicae :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _{t² –} ⁴⁰⁰ m

Dimidium mv _{t² =} ⁴⁰⁰ m

1/2 v _t² = ⁴⁰⁰

v _{t² =} ² (400)

vt ₌ √(400)(2)

vt = 20√² m/ _s

1. Quid significatur per "conservationem energiae mechanicae"?
   • Responsum: Conservatio energiae mechanicae significat energiam mechanicam totalem (summam energiae cineticae et potentialis) systematis isolati constantem manere si solae vires conservativae, ut gravitas, in eam agant.
2. Quomodo res in superficie curva movens (velut pila per pontem curvum devolvitur) energiam mechanicam suam conservat?
   • Responsum: Dum res per superficiem curvam descendit, energia potentialis in energiam cineticam convertitur, sed energia mechanica totalis constans manet, si nullae vires non conservativae (ut frictio) opus perficiunt.
3. Si pila e quiete in summo clivi curvati dimittitur, quomodo energia eius cinetica mutatur dum per clivum descendit?
   • Responsum: Energia cinetica pilae crescit dum per clivum descendit, quia energia eius potentialis decrescit et in energiam cineticam convertitur.
4. Frictione absente, quomodo celeritas pilae in imo curriculi curvi compararetur cum curriculo recto eiusdem altitudinis?
   • Responsum: Celeritas pilae in imo eadem esset et pro laminis curvis et rectis, quia conversio energiae potentialis in energiam cineticam solum ab altitudine verticali pendet, non a via suscepta.
5. Cur pila, cum per clivum curvum post descensum ab certa altitudine volvit, altitudinem pristinam non attingere potest?
   • Responsum: Si vires non conservativae, ut frictio, in pilam agunt, opus contra motum facient, partem energiae mechanicae pilae in alias formas, ut calorem, convertentes. Quam ob rem, pila fortasse non satis energiae habebit ad altitudinem suam pristinam perveniendam.
6. Si duo obiecta diversae formae (e.g., sphaera et cubus) per clivum curvum ex eadem altitudine sine volutatione delabuntur, num eandem celeritatem in imo habebunt? Cur?
   • Responsum: Ita, eandem celeritatem in imo habebunt. Si nulla volutatio et nulla frictio adsint, sola res celeritatem eorum determinata est conservatio energiae secundum altitudinem initialem, non formam.
7. Quomodo curvatura superficiei vim normalem in objectum secundum eam moventem afficit?
   • Responsum: Curvatura efficit ut directio vis normalis mutetur dum res movetur. In superficie concava sursum spectante (ut intus craterae), vis normalis maior est in imo propter vim centripetam necessariam ad motum curvum. Contra, in superficie convexa, vis normalis potest minui vel etiam nulla fieri (res superficiem relinquit) in puncto summo.
8. Quod munus agit radius curvaturae in conservatione energiae mechanicae in superficie curva?
   • Responsum: Radius curvaturae ipse conservationem energiae mechanicae directe non afficit. Attamen vim normalem et, si frictio adsit, quantitatem energiae amissae viribus non conservativis afficere potest.
9. Si semita in medio deorsum habet (sicut curvae U-formae), quomodo energia mechanica obiecti variat dum per deorsum et alterum latus ascendit?
   • Responsum: Energia potentialis obiecti decrescet dum in depressionem movetur et energiam cineticam augebit. Dum ad alterum latus ascendit, energia cinetica eius decrescet et energia potentialis augebitur. Si solae vires conservativae agunt, energia mechanica totalis per totum motum constans manet.
10. Num res, cum in superficie curva movetur, et energiam cineticam translationis et rotationis habere potest?

• Responsum: Ita, si res qualis pila (sine lapsu) in superficie curva volvitur, energiam cineticam translationalem propter centrum massae movens et energiam cineticam rotationalem propter rotationem circa axem suum habebit.