Motus circularis

Vitae nostrae hodie faciliores et commodiores factae sunt cum vehiculis rotatis, instrumentis modernis ut generatoribus, machinis frestoriis, ventilabris, tonstricibus graminis, irrigatoribus florum et cetera. Vehicula rotata, ut birotae, motocycli, autocineta et aeroplana, moveri non possunt nisi rotas habent aut si rotae non rotantur. Helicoptera vel aeroplana etiam volare non possunt si eorum propulsores non rotantur. Naves navigare non possunt si eorum generatores vel propulsores non rotantur. Nocte, domus obscura fit et nulla oblectatio est si generator vel statio electrica non operatur. Multae res motum circularem quotidie perficiunt. Etiam inscii, terra in qua vivimus, luna quae nos noctu illuminat, satellites artificiales ut satellites communicationis qui undas electromagneticas pro televisione, radiophonia, telephono mobili et emissionibus interretialibus transmittunt, semper rotantur, id est, in circulo omni tempore moventur.

Res in motu circulari esse dicitur si iter eius circulare est. Quantitates physicae in motu circulari constant ex quantitatibus angularibus (quantitates motus circularis) et quantitatibus linearibus (quantitates motus rectilinei). Quantitates angulares includunt dislocationem angularem, velocitatem angularem, et accelerationem angularem. Quantitates lineares sunt quantitates quales in motu recto, inter quas dislocatio (distantia), velocitas (celeritas), et acceleratio. Contra, quantitates motus circularis plerumque quantitates angulares appellantur . In motu circulari, quantitates lineares ad quantitates angulares referuntur.

Unitates angulorum (gradus, radianos, revolutiones) converte.

1. Quarta pars conversionis = … ^o (gradus)?
Disputatio
Una rotatio = 360^o
Dimidia conversio = 180^o
Quarta pars conversionis = 90^o

2. Dimidia conversio = …….. radiani?
Disputatio
Una revolutio = 2 pi radiani = 2(3,14) radiani = 6,28 radiani
Dimidia rotatio = pi radiani = 3,14 radiani

3. 180^o (180 gradus) = ... rotatio vel revolution ?
Disputatio
360^o = 1 circulus (1 revolution)
180^o = dimidia vice (1/2) revolution)

4. 90^o = ... radiani?
Disputatio
360^o = 2 pi radiani = 2(3,14) radiani = 6,28 radiani
180^o = pi radiani = 3,14 radiani
90^o = ½ pi radian = (3,14) = 1,57

5. 60 radiani = ... rotatio?
Disputatio
6,28 radiani = 1 revolutio
60 radiani/6,28 = 9,55 revolutiones

6. Quadraginta radiani = … ^o (gradus)?
Disputatio
6,28 radianus = 360^o
40 radiani/6,28 = (6,37)(360)^o) II =^o

Velocitas angularis

Exempla problematum.
1. Rota dextra versus rotatur, angulum 180° faciens.^o per 2 secunda et 90^o per unum secundum. Magnitudinem et directionem velocitatis angularis mediae determina!
Disputatio
Magnus = 9^o/secundum = ... revolutio/secundum = ... radians/secundum ?
Directio = directio horologica.

2. Rota dextra versus rotatur, angulum 360° faciens.^o per quattuor secundas, deinde rota 180° rotatur^o per duo secunda contra horologium. Quot velocitas angularis media rota?
Disputatio
Magnus = 3^o/secundum = ... revolutio/secundum = ... radians/secundum ?
Directio = directio horologica.

Velocitas Angularis Instantanea
Magnitudo velocitatis angularis instantaneae = magnitudo velocitatis angularis percursae per brevissimum intervallum temporis.
In motu recto vel motu lineari, celeritas magna appellari potest kelajuan quod magna dislocatio aequalis valori distantia si perparvum est. In motu circulari, magna velocitas angularis appellari potest velocitas angularis quod magnum angulare dislocatum aequalis valori distantia angulus si perparvum est.

Acceleratio Angularis Media
Exempla problematum.
1. Mola venti quae initio paulisper quieta manet, deinde vento flante rotatur. Post duo secunda, velocitas angularis ad 90° crescit.^o/s. Quantum? (or) Quantum? acceleratio angularis media mola venti?
Disputatio
Mediocriter, magna velocitas angularis Molae venti auctae quadraginta quinque^o/s singulis secundis.

2. Helix initialiter cum velocitate angulari 180 rotatur.^o/s, post 2 secundas rotationem desinit. Quot deceleratio angularis media mola venti?
Disputatio
Mediocriter, magna velocitas angularis Molae venti nonaginta redactae^o/s singulis secundis.

Acceleratio Angularis Instantanea
Acceleratio angularis instantanea plerumque abbreviatur "acceleratio angularis". Acceleratio angularis instantanea est mutatio velocitatis angularis per brevissimum intervallum temporis. Mathematice:

Periodus et Frequentia Motus Circularis
Periodus tempus indicat ut particula unam rotationem perficiat, frequentia autem numerum rotationum per secundum indicat.
Relatio inter periodum et frequentiam per aequationem exprimitur:
f = 1 / T
Unitas periodi internationalis est secundum, unitas frequentiae Systematis Internationalis est 1/secundum sive hertz.

Velocitas et Velocitas Angularis
Velocitas tangentialis et velocitas angularis particulae in circulo moventis per periodum et frequentiam exprimi possunt.
Magnitudo celeritatis particulae motum circularem perficientis aequatione exprimitur:
Magnitudo velocitatis angularis particulae in circulo moventis aequatione exprimitur:
dictis:

Exempla problematum

1. Duae rotae A et B, dentibus viginti et quinquaginta respective praeditae, in contactum ponuntur, ita ut utraque rota dentata par sit. Si rota A quinquagies uno secundo rotatur, velocitas angularis rotae B est…

Disputatio

Notum est:

Numerus dentium in rota A = 20

Numerus dentium in rota B = 50

Velocitas angularis rotae A ( ωA ₎ = 50 revolutiones/secundum

Una revolutio = 2π radiani

(50)(2π radiani)/secundum = 100π radiani/secundum

Quaestio: Velocitas angularis rotae B ( ω _B )

Responsum:

Celeritas linearis rotae A: v _A = r _A ω _A

Velocitas linearis rotae B: v _B = r _B ω _B

Duae rotae in contactu sunt, ergo celeritas linearis earum eadem est.

vA = _vB​

rAωA = _rBωB​​​_​​_​

(20)( 100π rad/s) = (50)(ω _B )

(2)(100π rad/s) = (5)(ω _B )

(2)(20π rad/s) = ω _B

ω _B = 40π rad/s

2. Quaestiones Examinationis Nationalis anni 2017 pro Schola Superiore/Schola Superiore Professionali

Vide imaginem sequentem.

Motocycleta in curva progreditur cum angulo inclinationis α (tan α = 2/5) ad marginem viae. Maxima celeritas ne motocycleta labatur est 20 ms⁻¹ ^. Quid est radius curvae?

A. 50 m

B. 100 m

Circa 200 metra

D. 250 m

E. 400 m

Disputatio

Constat:

Celeritas maxima (v) = 20 m/s

tangens α = 2/5

Coefficiens frictionis staticae (μs ₎ = tangens α = 2/5

Quaestio: Radius curvaturae (r)

Responsum:

Formula accelerationis centripetae:

dictis:

s = acceleratio centripeta, v = velocitas, _r = radius curvaturae

Sola vis horizontalis resultans quae in currum agit cum vertitur est frictio statica. Formula frictionis staticae est:

dictis:

f _s = vis frictionis staticae, μ _s = coefficiens frictionis staticae, w = pondus, m = massa, g = acceleratio gravitatis

Formula legis secundae Newtoni pro motu circulari:

Responsum rectum est B.

3. Quaestiones Examinationis Nationalis anni 2017 pro Schola Superiore/Schola Superiore Professionali

Quattuor rotae ut infra demonstratur coniunguntur!

Radius R_A = 6 cm, R_B = 3 cm, R_C = 2 cm et R_D = 5 cm et rota A celeritate lineari 3 ms rotatur.^-1, tum velocitas angularis rotae D est…

Disputatio

Constat:

RA ₌ 6 cm = 0,06 m, RB ₌ 3 cm = 0,03 m, RC ₌ 2 cm = 0,02 m, RD ₌ 5 cm = 0,05 m.

v _A = 3 ms ^-1

Quaestio: velocitas angularis rotae D ( ω _D )

Responsum:

Velocitas angularis rotae A:

v _A = r _A ω _A

ω _A = v _A / r _A = 3 / 0,06 = 50 rad/s

Rotae A et B eadem velocitate angulari rotantur.

ω _A = ω _B = 50 rad/s

Velocitas angularis rotae B:

ω _B = 50 rad/s

Velocitas linearis rotae B:

v _B = r _B ω _B

v _B = (0,03)(50 rad/s)

vB ₌ 1,5 m/s

Rota B et rota C eandem celeritatem linearem habent.

vB = vC ₌ 1,5 m/ _s

Rota C et rota D eandem celeritatem linearem habent.

vC = vD ₌ 1,5 m/ _s

Velocitas angularis rotae D:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 rad/s