Nimûneyek Pirsgirêkên ku Vektorên Berevajî nîqaş dikin
Vektor tiştekî matematîkî ye ku hem mezinahî û hem jî rêça wî heye. Di lêkolîna vektoran de, em pir caran rastî vektorên xwedî taybetmendiyên taybetî tên. Têgehek bingehîn di vektoran de vektora berevajî, anku vektora neyînî ye. Ev gotar dê mînakan û nîqaşek li ser vektorên berevajî vehewîne.
Têgihîştina Vektorên Berevajî
Vektora berevajî, ku pir caran wekî vektora neyînî tê binavkirin, vektorek e ku heman mezinahî lê berevajî vektora orîjînal heye. Ger vektorek bi \(\vec{a}\) were destnîşankirin, wê hingê vektora wê ya berevajî \(-\vec{a}\) ye. Ji hêla matematîkî ve, heke \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), wê hingê \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Nimûneya Pirsa 1
Dema ku vektor \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) tê dayîn, vektora berevajî ya \(\vec{a}\) diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo diyarkirina vektora berevajî ya \(\vec{a}\), em tenê hewce ne ku her yek ji pêkhateyên wê yên vektor biguherînin neyînî:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Ji ber vê yekê, vektora berevajî ya \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) ye.
Nimûneya Pirsa 2
Bila vektor \(\vec{b} = (7, -5, 0)\) be. Vektora berevajî ya \(\vec{b}\) bibîne û piştrast bike ku \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Nîqaş:
Pêşî, em vektora berevajî ya \(\vec{b}\) pênase dikin:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Piştre, em piştrast dikin ku berhevkirina vektor \(\vec{b}\) û vektora wê ya berevajî dibe sedema vektora sifir:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Em pêkhateyên vektorê li hev zêde dikin:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Ji ber vê yekê, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), îspat dibe ku encama lêzêdekirina vektor \(\vec{b}\) û vektora wê ya berevajî vektora sifir e.
Nimûneya Pirsa 3
Ger vektorên \(\vec{u} = (2, -1)\) û \(\vec{v} = (-2, 1)\) hebin, gelo \(\vec{u}\) vektora berevajî ya \(\vec{v}\) ye?
Nîqaş:
Ji bo ku em diyar bikin ka \(\vec{u}\) û \(\vec{v}\) vektorên berevajî ne, divê em kontrol bikin ka \(\vec{v} = -\vec{u}\) çi ye.
\(-\vec{u}\) hesab bike:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Derdikeve holê ku \(-\vec{u} = \vec{v}\), ev tê vê wateyê ku vektor \(\vec{u}\) bi rastî jî vektora berevajî ya vektor \(\vec{v}\) ye.
Nimûneya Pirsa 4
Eger tê zanîn ku vektor \(\vec{w}\) xwedî mezinahiya 5 û rêyeke dijberî vektor \(\vec{p} = (4, 3)\) ye, \(\vec{w}\) di forma pêkhateyê de diyar bike.
Nîqaş:
Pêşî, em mezinahiya vektor \(\vec{p}\) dibînin:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Ji ber ku \(\vec{w}\) xwedî heman mezinahîya \(\vec{p}\) ye lê berevajîyê wê ye, wê demê:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Ji ber vê yekê, vektor \(\vec{w}\) di forma pêkhateyê de \(\vec{w} = (-4, -3)\) ye.
Nimûneya Pirsa 5
Xala A(2, 3) û xala B(4, 7) hatine dayîn. Vektora pozîsyonê ji xala A ber bi xala B û vektora ku dijberê wê vektorê ye diyar bike.
Nîqaş:
Vektora pozîsyonê ji xala A ber bi xala B:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Vektora berevajî ya \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Ji ber vê yekê, vektora ku berevajî vektora pozîsyonê \(\vec{AB} = (2, 4)\) ye \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) ye.
Nimûneya Pirsa 6
Ger vektorek \(\vec{m} = (x, y)\) were dayîn û vektora berevajî ya \(\vec{m}\) \((-5, 12)\) ye. Nirxên x û y diyar bikin.
Nîqaş:
Vektora berevajî ya \(\vec{m}\) \((-x, -y)\) ye, û li gorî pirsgirêkê, \((-x, -y) = (-5, 12)\) ye.
Bi hevberkirina pêkhateyên vektorê, em bi dest dixin:
\[
-x = -5 \tê wateya x = 5
\]
\[
-y = 12 \tê wateya y = -12
\]
Ji ber vê yekê, nirxa \(x\) 5 e û nirxa \(y\) -12 e.
Xelasî
Vektorên berevajî vektorên bi heman mezinahî lê berevajî ne. Bi têgihîştina têgeha vektorên berevajî, em dikarin gelek pirsgirêkên têkildarî vektoran çareser bikin, wek diyarkirina neyînîya vektorekê, verastkirina zêdekirina vektoran li sifirê, û hwd. Tê payîn ku nîqaşa li ser pirsgirêkên mînakî yên jorîn zanîn û têgihîştina me ya li ser xebata bi vektorên berevajî zêde bike.
