Nimûneyek Pirsgirêkên ku Vektorên Pozîsyonê Dinirxînin
Vektor di matematîk û fîzîkê de têgeheke bingehîn in, ku hejmaran bi hem rê û hem jî bi mezinahî temsîl dikin. Di gelek serlêdanan de, vektor pir caran ji bo danasîna pozîsyon, leza, hêz û gelek parametreyên din têne bikar anîn. Di nav cûrbecûr celebên vektoran de, vektorên pozîsyonê di nexşerêkirina cihê xalekê di fezayê de roleke girîng dilîzin.
Pênasîna Vektora Pozîsyonê
Vektorê pozîsyonê vektorek e ku cihê xalekê li gorî eslê xwe di sîstema koordînatê de diyar dike. Bi gelemperî, vektorê pozîsyonê bi şêweya koordînatên Kartezyenî wiha tê nivîsandin:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Li vir, \(\mathbf{r}\) vektora pozîsyonê ye, \(x\), \(y\), û \(z\) pêkhateyên wê ne li ser tewereyên \(x\), \(y\), û \(z\) bi rêzê ve, di heman demê de \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), û \(\mathbf{k}\) vektorên yekîneyî ne paralel bi tewereyên koordînatê re. Di fezaya du-alî de, pêkhateya \(z\) bi gelemperî tune ye, ji ber vê yekê vektora pozîsyonê dibe:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Serlêdanên Vektora Pozîsyonê
Bo nimûne, di fîzîkê de, vektorên pozîsyonê di danasîna tevgera tiştan de roleke girîng dilîzin. Pozîsyona tiştekî li gorî eslê xwe (xala referansê) dikare bi vektoreke pozîsyonê were temsîlkirin. Wekî din, di endezyariya mekanîkî de, hesabkirina hêz û momentan pir caran karanîna vektorên pozîsyonê vedihewîne.
Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina Vektorên Pozîsyonê
Pirs 1
Ferz bike ku du xal di qada 3D de hene, xala A bi koordînatên (1, 2, 3) û xala B bi koordînatên (4, 0, -2)). Vektorên pozîsyonê yên xalên A û B diyar bikin. Wekî din, vektora ku xala A bi xala B ve girêdide hesab bikin.
Nîqaş:
Vektora pozîsyonê ji bo xala A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Vektora pozîsyonê ji bo xala B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Piştre, ji bo dîtina vektora ku xala A bi xala B ve girêdide (ku jê re \(\mathbf{AB}\) tê gotin), divê em vektora pozîsyonê ya A ji vektora pozîsyonê ya B derxînin:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Ji ber vê yekê, li şûna her du vektorên pozîsyonê yên li jor:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Ji ber vê yekê, vektora ku xala A bi B ve girêdide \(3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) ye.
Pirs 2
Eger xalek P li ser \((2, 3)\) di plana 2D de be, dirêjahiya (norma) vektora pozîsyonê \(\mathbf{r_P}\) bibîne.
Nîqaş:
Vektora pozîsyonê ya xala P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Dirêjahiya vektora pozîsyonê \(\mathbf{r_P}\) dikare bi karanîna formula norma vektorê (an dirêjahiyê) were hesibandin:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Nirxên \(x\) û \(y\) li şûna wan bi kar bîne:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya vektora pozîsyonê \(\mathbf{r_P}\) \(\sqrt{13}\) ye.
Pirs 3
Ferz bike ku xalek Q li \((5, -4, 2)\) ye. Goşeya di navbera vektora pozîsyonê \(\mathbf{r_Q}\) û eksena \(x\) de bibîne.
Nîqaş:
Vektora pozîsyonê ya xala Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Ji bo dîtina goşeya di navbera vektor \(\mathbf{r_Q}\) û eksena \(x\) de, em dikarin têgeha berhema xalî bikar bînin. Pêşî, em berhema xalî di navbera \(\mathbf{r_Q}\) û \(\mathbf{i}\) de diyar dikin:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Ji ber ku \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), û \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), hingê:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norma \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Norma \(\mathbf{i}\) 1 e, ji ber ku \(\mathbf{i}\) vektoreke yekîneyî ye.
Bi karanîna formula berhema xalan ji bo dîtina goşeya \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Ji ber vê yekê goşeya \(\theta\) di navbera vektora pozîsyonê \(\mathbf{r_Q}\) û eksena \(x\) de ev e:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Xelasî
Vektorên pozîsyonê di zanist û endezyariyê de, bi taybetî di nexşerêkirina pozîsyona tiştan di qada koordînatê de, roleke girîng dilîzin. Nimûneyên jorîn nîşan didin ka meriv çawa vektorên pozîsyonê, dirêjahiya wan û goşeyên di navbera wan û tewereyên koordînatê de hesab dike. Fêmkirina van têgehên bingehîn di çareserkirina gelek pirsgirêkên têkildarî fezayê û koordînatan de di matematîk û fîzîkê de pir biqîmet e.
