Nimûneyên Pirsên ku Teorema Bingehîn a Hesabkirinê nîqaş dikin
Hesabkirin şaxek girîng a matematîkê ye ku têgehên sînor, derivatîf û entegralan dihewîne. Teorema Bingehîn a Hesabkirinê (FDTC) yek ji teoremên herî bingehîn e ku van têgehan bi hev ve girêdide. Di vê gotarê de, em ê pênase û sepandina Teorema Bingehîn a Hesabkirinê bi rêya rêze mînakên pirsgirêkan û nîqaşan vekolin.
Fêmkirina Teorema Bingehîn a Hesabkirinê
Teorema Bingehîn a Hesabê ji du beşên sereke pêk tê:
1. Beşa Yekem: Eger \(f \) fonksiyoneke berdewam li ser navbera \([a, b] \) be, û \(F \) dij-derîvateke \(f \) li ser wê navberê be, wê demê:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
2. Beşa Duduyan: Eger \(f \) fonksiyoneke berdewam li ser navbera \(a, b] \) be, û em fonksiyoneke \(F \) bi vî awayî pênase dikin:
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
wê demê \(F\) dijderîvata \(f\) ye, ango:
\[ F'(x) = f(x) \]
Piştî têgihîştina têgeha bingehîn, em rasterast derbasî hin mînakên pirsan û nîqaşên wan bibin da ku sepandina Teorema Bingehîn a Hesabê zelal bikin.
Nimûneyên Pirsên Gotûbêjê
Mînaka Pirsgirêka 1: Bikaranîna Beşa Yekem a Teorema Bingehîn a Hesabkirinê
Pirs:
Fonksiyona \(f(x) = 3x^2 \) hatiye dayîn. Entegrala nediyar a \(f(x) \) ji \(x = 1 \) heta \(x = 4 \) hesab bike.
Nîqaş:
Ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê, divê em antîderîvata \(F(x)\) ya \(f(x)\) bibînin.
Gava 1: Dijderîvata \(F(x)\) ya \(f(x) = 3x^2\) bibîne.
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Ji ber vê yekê, \( F(x) = x^3 \).
Gava 2: Nirxa \(F(x)\) li sînorên entegralê yên dayîn hesab bike.
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Ji ber vê yekê, nirxa entegralê 63 e.
Nimûneya Pirsa 2: Bikaranîna Beşa Duyem a Teorema Bingehîn a Hesabkirinê
Pirs:
Eger \( F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \), derivatîva \( F(x) \) bibîne.
Nîqaş:
Li gorî beşa duyemîn a Teorema Bingehîn a Hesabê, eger \( F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \), wê demê \( F'(x) = f(x) \).
Li gorî rewşa diyarkirî:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
Hingê derivatîfa \(F(x)\) ev e:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
Mînak 3: Bikaranîna Teorema Bingehîn a Hesabê bi Fonksiyonên Aloztir re
Pirs:
Bi dayîn \( f(x) = \sqrt{x} \). Entegrala nediyar a \( f(x) \) ji \( x = 0 \) heta \( x = 4 \) hesab bike.
Nîqaş:
Gava 1: Dijderîvata \(F(x)\) ya \(f(x) = \sqrt{x}\) bibîne.
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Rêgezên bingehîn ên entegralan bikar bînin:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Wiha:
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Ji ber vê yekê, \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Gava 2: Nirxa \(F(x)\) li sînorên entegralê yên dayîn hesab bike.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
Ji ber vê yekê, nirxa entegralê \( \frac{16}{3} \) ye.
Nimûneya Pirsa 4: Entegrasyon bi Fonksiyonên Kêmasî re
Pirs:
\( f(x) = \frac{2}{x} \) ji \( x = 1 \) ber bi \( x = 3 \) ve entegre bike.
Nîqaş:
Gava 1: Dijderîvata \(F(x)\) ya \(f(x) = \frac{2}{x}\) bibîne.
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
Em dizanin ku:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Wiha:
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Û \( F(x) = 2 \ln |x| \).
Gava 2: Nirxa \(F(x)\) li sînorên entegralê yên dayîn hesab bike.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Ji ber vê yekê, nirxa entegralê \(2 \ln3 \) ye.
Nimûneya Pirsa 5: Entegrala Fonksiyonên Trîgonometrîk
Pirs:
F(x) = sin x) ji x = 0 ber bi x = pi ve entegre bike.
Nîqaş:
Gava 1: Dijderîvata \(F(x)\) ya \(f(x) = \sinx\) bibîne.
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Û \( F(x) = -\cos x \).
Gava 2: Nirxa \(F(x)\) li sînorên entegralê yên dayîn hesab bike.
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Ji ber vê yekê, nirxa entegralê 2 e.
Xelasî
Teorema Bingehîn a Hesabê di warê hesabkirinê û matematîkê de bi giştî amrazek bihêz e. Bi girêdana derivatîf û entegralan, ev teorem dihêle ku em rûbera di bin xêzekê de hesab bikin û guherîna fonksiyonekê bi awayekî kûrtir fam bikin. Fêmkirin û serweriya sepandina vê teoremê bi rêya pratîkê ji bo jêhatîbûna di warê hesabkirinê de mifteya sereke ye. Ev gotar tenê rûyê tiştê ku bi Teorema Bingehîn a Hesabê dikare were bidestxistin diqelişe, lê bi hêvî me ku wêneyek zelal a ka meriv çawa bi yek ji têgehên matematîkî yên herî bingehîn re dixebite peyda dike.
