Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina Taybetmendiyên Entegralên Diyarkirî
Entegrala diyarkirî têgeheke bingehîn e di hesabkirinê de, ku di rêzek fireh ji sepanên matematîk, fîzîk û endezyariyê de pir bikêrhatî ye. Di vê gotarê de, em ê hin taybetmendiyên girîng ên entegrala diyarkirî rave bikin û mînak û çareseriyan peyda bikin da ku têgihîştina we ya mijarê kûrtir bikin.
Taybetmendiyên Entegralên Diyarkirî
Berî ku em bikevin nav pirsgirêkên mînakî, em li ser hin taybetmendiyên bingehîn ên entegralên diyarkirî ku girîng e ku werin zanîn, bisekinin:
1. Taybetmendiya Xêzikbûnê:
– Eger \( f(x) \) û \( g(x) \) fonksiyonên entegralîze bin û \( a \) û \( b \) sabît bin, wê demê:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Entegrala Sabitekê:
– Eger \(c \) sabît be, wê demê:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. Taybetmendiyên Zêdekirina Navberan:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Vegerandina Sînoran:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Sifir li Heman Sînorê:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Nimûneya Pirsa 1: Bikaranîna Taybetmendiya Xêzikbûnê
Nimûneya pirsgirêkan:
Nirxa hesab bike:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Gotûbêj:
Ji bo veqetandina entegralê li duyan, taybetmendiya xêzikbûnê bikar bînin:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]
Werin em entegrala yekem hesab bikin:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \rast]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \rast)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \rast)
\]
\[
= 8
\]
Niha, em entegrala duyemîn hesab dikin:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \rast]_0^2
\]
\[
= 2 \çep( 1 – 0 \rast)
\]
\[
= 2
\]
Her du encam bi hev re bikin yek:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Nimûneya Pirsa 2: Entegrala Sabîtekê
Nimûneya pirsgirêkan:
Nirxa hesab bike:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Gotûbêj:
Bi karanîna taybetmendiya entegralê ya sabîtan, em dikarin binivîsin:
\[
\int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Nimûneya Pirsa 3: Taybetmendiyên Guhertina Sînor
Nimûneya pirsgirêkan:
Îspat bike ku:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
Gotûbêj:
Em bi entegrala \(x^2\) li ser navbera \([2, 5]\) dest pê dikin:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Niha, em entegrala \(x^2\) li ser navbera \([5, 2]\) hesab bikin û piştrast bin ku nîşana bersivê berevajî bikin:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Ew îspatkirî ye ku:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]
Nimûneya Pirsa 4: Taybetmendiyên Zêdekirina Navberan
Nimûneya pirsgirêkan:
Eger \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) û \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) têne zanîn, nirxa \(\int_2^6 f(x) \, dx\) hesab bike.
Gotûbêj:
Bi karanîna taybetmendiya lêzêdekirina navberê:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Xelasî
Entegrala diyarkirî gelek taybetmendiyên girîng hene ku dikarin ji me re bibin alîkar ku em cûrbecûr celeb pirsgirêkan bi bandortir çareser bikin. Di vê gotarê de, me li ser hin ji van taybetmendiyên bingehîn nîqaş kir û mînak pêşkêş kirin ku nîşan didin ka ev taybetmendî çawa dikarin di pratîkê de werin sepandin. Bi têgihîştin û pratîka têr, hûn ê bikaribin pirsgirêkên entegrala diyarkirî bi baweriyek mezintir çareser bikin.
