Nimûneyek Pirsa Nîqaşê li ser Hevkêşeya Bazinê
Hevkêşeya çemberê mijarek girîng e di geometrîya analîtîk de. Têgihîştineke baş a hevkêşeya çemberê ne tenê di matematîkê de, lê di heman demê de di gelek sepanên endezyarî û zanistî de jî pir bikêr e. Di vê gotarê de, em ê çend mînakên hevkêşeyên çemberê û çareseriyên wan nîqaş bikin. Armanc ew e ku nihêrînek zelal û berfireh li ser ka meriv çawa pirsgirêkên ku hevkêşeyên çemberê tê de hene çareser dike, peyda bike.
Hevkêşeya Giştî ya Bazinê
Hevkêşeya herî gelemperî ya çemberê di koordînatên Kartezyenî de ev e:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ko:
– \( (a, b) \) koordînatên navenda çemberê ne.
– \( r \) nîvkada çemberê ye.
Eger navenda çemberê li xala \((0, 0)\) be, hevkêşeya çemberê dê wiha be:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Niha, em ê li ser çend mînakên pirsan û çareseriyên wan nîqaş bikin.
Nimûneya Pirsa 1
Pirsyar: Hevkêşeya çemberê ku navenda wê li xala (3, -2) ye û nîvgira wê 5 e, diyar bike.
Çare:
Ji bo hevkêşeya çemberê formula giştî bikar bînin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Nirxên \(a = 3 \), \(b = -2 \), û \(r = 5 \) li şûna wan bi kar bîne:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Nimûneya Pirsa 2
Pirsyar: Hevkêşeya xelekê diyar bike ku navenda wê li ser koka xalan (0, 0) ye û nîvgira wê 7 e.
Çare:
Ji ber ku navenda çemberê li eslê xwe ye, em dikarin hevkêşeya hêsan bikar bînin:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Nirxa \(r = 7 \) biguherîne:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya çemberê ev e:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Nimûneya Pirsa 3
Pirsyar: Hevkêşeya çemberê diyar bike ku navenda wê li xala (4, -5) ye û bi eksena Y ve dikeve.
Çare:
Bazûrek ku bi eksena Y ve tangent e tê wê wateyê ku dûrahiya ji navenda bazê heta eksena Y bi nîvkada wê re wekhev e. Ev dûrî nirxa mutleq a koordînata X ya navenda bazê ye. Ji ber vê yekê, nîvkada wê 4 e.
Ji bo hevkêşeya çemberê formula giştî bikar bînin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Nirxên \(a = 4 \), \(b = -5 \), û \(r = 4 \) li şûna wan bi kar bîne:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Nimûneya Pirsa 4
Pirsyar: Bazin xwediyê hevkêşeya \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) e. Navend û nîveka bazinê diyar bike.
Çare:
Ji bo çareserkirina vê hevkêşeyê, divê em wê veguherînin forma standard \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Gavên temamkirina wê wiha ne:
1. Komkirin û çareserkirina çargoşeyên bêkêmasî:
Hevkêşeya destpêkê ev e:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Koma (x) û (y):
\[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Çareserkirina çargoşeya bêkêmasî:
Ji bo \(x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Ji bo \(y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
9 û 4 li her du aliyên wekheviyê zêde bikin:
\[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya çemberê di forma standard de ev e:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ji vir, em dikarin bibînin ku navenda çemberê \((3, -2) \) ye û nîvradyus \(r = \sqrt{25} = 5 \) ye.
Nimûneya Pirsa 5
Pirsyar: Hevkêşeya çemberê ku ji xalên (2, 3) û (4, 5) derbas dibe, û navenda wê li ser xeta x = 3 ye, diyar bike.
Çare:
Ji pirsê, em dizanin ku navenda çemberê (3, b) ye. Çember di heman demê de ji du xalên naskirî derbas dibe. Ji ber ku çember ji (2, 3) derbas dibe, dûrahiya ji navendê heta vê xalê nîvçe ye.
Hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Xala cîgirkirinê (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Xala cîgirkirinê (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Ji herdu hevkêşeyan, em dizanin (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Ji ber vê yekê:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Eger \( 3 – b = 5 – b \) be, encam nikare rast be. Ji ber vê yekê:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Bi b = 4, hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Lêbelê, em dikarin radius r ji dûrahiya di navbera navend û xala (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\) hesab bikin.
Hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Xelasî
Têgihîştina hevkêşeya çemberê dikare çareserkirina gelek pirsgirêkên matematîkê hêsan bike. Di her rewşê de, destnîşankirina navend û nîvkada wê pir girîng e. Hêvîdarim ku ev pirsgirêkên mînak û ravekirinên wan zelaliyê peyda bikin û ji we re bibin alîkar ku hûn hevkêşeya çemberê fêr bibin. Pratîk di matematîkê de bêkêmasî çêdike, ji ber vê yekê dudilî nebin ku hûn pirsgirêkên cûrbecûr biceribînin da ku jêhatîyên xwe baştir bikin.
