Nimûneyên Pirsên ku Nirxa Tê payîn a Dabeşkirina Normal nîqaş dikin
Belavkirina normal, ku wekî belavkirina Gaussî jî tê zanîn, yek ji belavkirinên îhtimala berdewam ên herî pir tê bikar anîn di îstatîstîk û îhtimalê de ye. Ev belavkirin pir caran wekî texmînek bingehîn di gelek encamên îstatîstîkî de tê bikar anîn ji ber taybetmendiyên wê yên matematîkî yên erênî, wekî sîmetrî û bêhempabûna wê di parametrekirinê de bi navînî (µ) û devîasyona standard (σ). Ev gotar dê mînakan nîqaş bike û nirxa bendewar a belavkirina normal nîqaş bike da ku têgihîştinek kûrtir a vê têgehê peyda bike.
Têgihîştina Belavkirina Normal
Belavbûna normal bi xêzeke zengilî ya simetrîk tê nîşandan, ku piraniya nirxan li dora nirxa navîn, an jî navînî kom bûne. Di vê belavkirinê de, navînî (µ) û devîasyona standard (σ) du parametreyên girîng in ku cih û mîqdara belavbûnê di daneyan de diyar dikin.
Fonksiyona dendika îhtimalê (PDF) ya belavkirina normal ev e:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
mera:
– \( \mu \) navînî an jî averaj e
– \( \sigma \) devîasyona standard e
– \( x \) guhêrbareke rasthatî ye
Nirxa Tê çaverêkirin di Belavkirina Normal de
Nirxa çaverêkirî ya guherbarek rasthatî bi belavkirinek normal wekhevî navîniya belavkirinê ye. Ger \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) \, wê hingê nirxa çaverêkirî \( E(X) \) ev e:
\[ E(X) = \mu \]
Werin em bi çend mînakên pirsgirêkên derbarê nirxên hêvîkirî di belavkirinên normal de berdewam bikin da ku têgihîştina me xurttir bibe.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1:
Bifikirin ku \(X\) guhêrbarek rasthatî ya bi belavkirina normal e ku \(\mu = 50\) û \(sigma = 10\) tê de hene. Nirxa çaverêkirî ya \(X\) hesab bike.
Nîqaş:
Wekî ku berê jî hate gotin, di belavkirineke normal de, nirxa çaverêkirî \(E(X)\) wekhevî \(\mu\) ye. Ji ber vê yekê,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Nimûneya Pirsa 2:
Ger guhêrbarek rasthatî ya \(Y\) bi gelemperî bi \(\mu = 120\) û \(\sigma = 15\) tê belavkirin, nirxa çaverêkirî ya \(Y\) bibîne.
Nîqaş:
Bi heman awayî wekî mînaka yekem, nirxa çaverêkirî ya \(Y \) nirxa navîn an jî navîniya dabeşkirina normal e, ango:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Nimûneya Pirsa 3:
Eger guhêrbarê rasthatî \(Z\) li dû belavkirineke normal bi \(\mu = 0\) û \(\sigma = 1\) (belavbûna normal a standard) were, nirxa çaverêkirî ya \(Z\) çi ye?
Nîqaş:
Belavbûna normal a standard xwedî navînî ye \( \mu = 0 \), ji ber vê yekê nirxa çaverêkirî \(E(Z) \) ev e:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Nimûneya Pirsa 4:
Ferz bikin ku W guherbareke rasthatî ya bi belavkirina normal e ku navînî (mu = 75) û devîasyona standard (sigma = 20) heye. Ger em guherbareke rasthatî ya nû (V = 2W + 3) pênase bikin, nirxa çaverêkirî ya V çi ye?
Nîqaş:
Ji bo dîtina nirxa çaverêkirî ya \(V \), divê em taybetmendiya xêzikbûnê ya nirxa çaverêkirî bikar bînin. Dema ku \(V = 2W + 3 \) were dayîn, wê hingê:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Li gorî taybetmendiya xêzikbûnê ya nirxa çaverêkirî, em dikarin sabîtê ji guhêrbarê rasthatî veqetînin:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Dizanin ku nirxa hêvîkirî ya sabît bixwe sabît e:
\[ E(3) = 3 \]
Û nirxa çaverêkirî ya \(W\) navîniya belavkirina normal \(W\) ye:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Wiha,
\[ E(V) = 2 caran 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Nimûneya Pirsa 5:
Guhêrbara rasthatî \(Q\) li gorî dabeşkirineke normal bi navînî \(\mu = 40\) û devîasyona standard \(\sigma = 5\) dimeşe. Nirxa çaverêkirî ya \(Q\) çi ye eger \[U = Q/2\]?
Nîqaş:
Em heman prensîbê wekî di mînaka 4-an de bikar tînin, ango taybetmendiya xêzikbûnê ya nirxa hêvîkirî. Bihesibînin ku \( U = Q/2 \), wê hingê:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Li ser bingeha taybetmendiya xêzikbûnê ya nirxa hêvîkirî:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Em dizanin ku nirxa çaverêkirî ya \(Q\) navîniya belavkirina normal \(Q\) ye:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Wiha,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \car 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Xelasî
Di belavbûneke normal de, nirxa çaverêkirî ya guherbareke rasthatî her tim wekhevî navîniya (µ) ya belavbûnê ye. Pirsgirêkên mînakî yên li jor şert û mercên cûrbecûr ji bo hesabkirina nirxa çaverêkirî bi karanîna taybetmendiya xêzikbûnê nîşan didin. Fêmkirina vê têgeha bingehîn çareserkirina pirsgirêkên belavbûna normal di îstatîstîk û îhtimalê de hêsantir dike.
Dabeşkirina normal di îstatîstîkê de pir girîng e ji ber ku ew di rêzek fireh ji sepanên pratîkî de tê bikar anîn, di nav de ceribandina hîpotezê, texmîna parametreyan û gelek encamên din ên îstatîstîkî. Têgihîştineke baş a nirxa hêvîkirî ya vê dabeşkirinê gaveke yekem a girîng di analîza daneyan de ye.
Hêvîdarim ku ev gotar ravekirinek zelal û kêrhatî ya nirxa hêvîkirî di dabeşkirina normal de digel pirs û nîqaşên mînakî yên têkildar peyda bike.
