Nimûneyek Pirsên Gotûbêja Sum Riemann
Pendahuluan
Kombûna Riemann têgeheke bingehîn e di hesabkirinê de ku ji bo pênasekirina entegrala diyarkirî ya fonksiyonekê tê bikar anîn. Ev rêbaz dabeşkirina navber û kombûna rûberên çargoşeyan bikar tîne da ku entegralê nêzîk bike. Ev gotar dê bi berfirehî li ser têgeha kombûna Riemann nîqaş bike, tevî mînak û nîqaşan ji bo hêsankirina têgihîştinê.
Têgeha bingehîn a Komela Riemannian
Berî ku em li ser mînakan biaxivin, girîng e ku em têgeha bingehîn a berhevokên Riemannian fam bikin. Hevokokên Riemannian dikarin li sê celebên sereke werin dabeş kirin:
1. Kombûna Riemann a çepê
2. Kombûna Riemann a rastê
3. Kombûna Riemann a xala navîn
Ev rêbaz navbera fonksiyonê ya ku dê were entegrekirin di navberhevên piçûktir ên bi dirêjahiya wekhev de dişkîne. Her yek ji van navberhevan dûv re tê bikar anîn da ku çargoşeyek çêbike ku bilindahiya wê ji hêla nirxa fonksiyonê ve li xalek taybetî di navberhevê de (çep, rast, an navend) tê destnîşankirin.
Formula Giştî ji bo Sûma Riemann
Ferz bikin ku em dixwazin fonksiyona f(x) ji a ber bi b ve entegre bikin. Em navbera [a, b] li n navberên wekhev ên bi dirêjahiya Delta x = frac{ba}{n} dabeş dikin. Kombûnên Riemann ji bo sê celebên ku li jor hatine behs kirin dikarin wiha werin nivîsandin:
1. Riemann li çepê:
\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \]
2. Riemann a rastê:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]
3. Riemannê Navîn:
\[ M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Delta x \]
Ko:
– \( \Delta x \) firehiya her binintervalê ye.
– \( x_i \) xala destpêkê ya binintervala i-emîn ji bo berhevoka Riemann a çepê ye.
– \( x_i \) xala dawî ya binintervala i-emîn ji bo berhevoka Riemann a rast e.
– \( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \) xala navîn a binintervala i-emîn ji bo berhevoka Riemann a navîn e.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Werin em ji bo kûrkirina têgihîştina xwe li ser pirsgirêkên mînakî ji bo her cureyê Sûma Riemann nîqaş bikin.
Mînak 1: Kombûna Riemann a Çepê
Ji bo \(f(x) = x^2 \) li ser navbera \([0, 2]\) bi \(n = 4 \) berhevoka Riemann a çepê hesab bike.
Nîqaş:
1. Firehiya Binêverktûrê (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Xala Dabeşkirina Navberê (çep):
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5 \]
3. Nirxa Fonksiyonê li Xala Dabeşkirinê:
\[ f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0 \]
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
4. Kombûna Riemann a Çepê (Ln):
\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x = (0) \cdot 0.5 + (0.25) \cdot 0.5 + (1) \cdot 0.5 + (2.25) \cdot 0.5 \]
\[ L_n = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 \]
\[ L_n = 1.75 \]
Mînak 2: Kombûna Riemann a Rast
Ji bo \(f(x) = x^2 \) li ser navbera \([0, 2]\) bi \(n = 4 \) re, berhevoka Riemann a rast hesab bike.
Nîqaş:
1. Firehiya Binêverktûrê (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Xala Dabeşkirina Navberê (rast):
\[ x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0 \]
3. Nirxa Fonksiyonê li Xala Dabeşkirinê:
\[ f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
\[ f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1 \]
\[ f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25 \]
\[ f(x_4) = f(2.0) = (2.0)^2 = 4 \]
4. Kombûna Riemann a Rastê (Rn):
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = (0.25) \cdot 0.5 + (1) \cdot 0.5 + (2.25) \cdot 0.5 + (4) \cdot 0.5 \]
\[ R_n = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 \]
\[ R_n = 3.75 \]
Mînak 3: Kombûna Navîn a Riemann
Ji bo \(f(x) = x^2 \) li ser navbera \([0, 2]\) bi \(n = 4 \) berhevoka navîn a Riemann hesab bike.
Nîqaş:
1. Firehiya Binêverktûrê (Δx):
\[ \Delta x = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Xala navîn a binnavberê:
\[ x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, \text{ û } x_{n-1}=2.0 \]
Xala navîn a binnavberê:
\[tm_0 = \left(\frac{0 + 0.5}{2}\rast)=0.25 \]
\[tm_1 = \left(\frac{0.5 + 1.0}{2}\rast)=0.75 \]
\[tm_2 = \left(\frac{1.0 + 1.5}{2}\rast)=1.25 \]
\[tm_3 = \left(\frac{1.5 + 2.0}{2}\rast)=1.75 \]
3. Nirxa Fonksiyonê li Xala Navîn:
\[ f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625 \]
\[ f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625 \]
\[ f(1.25) = (1.25)^2 = 1.5625 \]
\[ f(1.75) = (1.75)^2 = 3.0625 \]
4. Çemê Riemann ê Navendî (Mn):
\[ M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(tm_i) \Delta x = (0.0625) \cdot 0.5 + (0.5625) \cdot 0.5 + (1.5625) \cdot 0.5 + (3.0625) \cdot 0.5 \]
\[ M_n = 0.03125 + 0.28125 + 0.78125 + 1.53125 \]
\[ M_n = 2.625 \]
Xelasî
Di vê gotarê de, ligel mînakên berfireh, nîqaş li ser çawaniya hesabkirina berhevokên Riemann ên çep, rast û navîn hatiye kirin. Rêbaza berhevoka Riemann rêyek bi bandor peyda dike ji bo texmînkirina entegrala fonksiyonê bi dabeşkirina navberê wê li navberên piçûk û hesabkirina rûbera giştî ya her navberê. Têgihîştinek baş a berhevoka Riemann ji bo kesên ku hesabkirinê dixwînin an jî bi fonksiyonên tevlihev re di warên zanistî yên cûrbecûr de dixebitin girîng e.
