Nimûneyek pirsek nîqaşê li ser sepandina derivatîfan
Derîvat têgeheke bingehîn a hesabkirinê ye ku di jiyana rojane û warên din ên zanistê de, wek fîzîk, aborî, biyolojî û endezyariyê, gelek sepandinên wê hene. Di vê gotarê de, em ê li ser çend mînakên pirsgirêkan nîqaş bikin û sepandinên derivatan, bi taybetî di çarçoveya optimîzasyon û analîza fonksiyonê de, nîqaş bikin.
Pêşgotinek li ser Serlêdanên Derbaskirî
Dereceya fonksiyonekê bi bingehîn agahdarî li ser rêjeya guherîna wê fonksiyonê li gorî guhêrbarê wê yê serbixwe peyda dike. Nimûneya herî hêsan lez e, ku dereceya pozîsyonê li gorî demê ye. Bi berfirehî, derieceyên dikarin werin bikar anîn da ku nirxên herî zêde û herî kêm ên fonksiyonekê bibînin, navberên ku fonksiyonek li ser wan zêde dibe an kêm dibe diyar bikin, û agahdarî li ser taybetmendî û tevgera grafîkî ya fonksiyonekê peyda bikin.
Nimûneya Pirsa 1: Dîtina Nirxên Herî Zêde û Herî Kêm
Pirs:
Xalên herî zêde û herî kêm ên fonksiyonê \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) diyar bike.
Nîqaş:
1. Dîtina derîvata yekem:
Ji bo dîtina xalên krîtîk, divê em derîvata yekem a fonksiyonê bibînin û wê bi sifirê re wekhev bikin.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Hevkêşeyê çareser bike:
Em hevkêşeyê faktor dikin:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Ji ber vê yekê, em xalên krîtîk li \(x = 0 \) û \(x = 2 \) digirin.
3. Derîva duyem analîz bike:
Ji bo diyarkirina xalên krîtîk maksîmûm an minîmûm in, divê em derîvata duyemîn a fonksiyonê bibînin:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Nirxandin li xalên krîtîk:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{neyînî, ji ber vê yekê\ } x = 0 \text{\ herî zêde herêmî ye})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{pozîtîf, ji ber vê yekê\ } x = 2 \text{\ kêmtirîn nirxek herêmî ye})
\]
4. Nirxên herî zêde û herî kêm hesab bikin:
Xalên krîtîk di fonksiyona orîjînal de bicîh bike:
\[
f(0) = 0^3 – 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \, (\text{herî zêde})
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \, (\text{herî kêm})
\]
Ji ber vê yekê, fonksiyona \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) xwedî herî zêde herêmî li \((0, 4) \) û herî kêm herêmî li \((2, 0) \) ye.
Nimûneya Pirsa 2: Optimîzasyon bi Sînorkirinan
Pirs:
Cotkarek dixwaze li kêleka çem dorpêçek çargoşeyî ava bike. Dema ku 100 metre dîwar hebe, pîvanên dorpêçê diyar bikin da ku rûbera wê herî zêde bikin.
Nîqaş:
1. Hevkêşeyek çêke:
Ferz bikin ku dirêjahiya dorpêçkirî ya paralel bi çem re x metre ye û firehiya wê jî y metre ye. Ji ber ku aliyek bi çem ve sînor e, têla pêwîst ji bo sê aliyan e.
\[
2y + x = 100
\]
2. Rûbera herî zêde bibîne:
Rûbera qefesê \(A \) ev e:
\[
A = x \cdot y
\]
Ji hevkêşeya çêperê, em dikarin \(y\) bi rêya \(x\) îfade bikin:
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya ji bo deverê wiha dibe:
\[
A(x) = x \cdot \frac{100 – x}{2} = 50x – \frac{x^2}{2}
\]
3. Dîtina derîvata yekem:
Ji bo dîtina nirxa herî zêde, em derîvata yekem a \(A(x)\) dibînin:
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Wekhevkirina sifirê:
\[
50 – x = 0 \tê wateya x = 50
\]
4. Nirxa \(y\) hesab bike:
\(x = 50 \) di nav hevkêşeyê de bi cîh bike:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Ji ber vê yekê, pîvanên qefesê yên ku qada herî zêde peyda dikin ji bo dirêjahî 50 metre û ji bo firehî 25 metre ne.
Nimûneya Pirsa 3: Diyarkirina Leza Herî Zêde
Pirs:
Perçeyekî li ser xêzeke rast dimeşe û pozîsyona wî wekî fonksiyoneke demê tê nîşandan \( s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1 \). Leza herî zêde ya perçeyê diyar bike.
Nîqaş:
1. Leza (deravayê pozîsyonê) diyar bike:
Leza perçeyekê derîvata yekem a pozîsyonê li gorî demê ye:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Dereceya duyem diyar bike:
Ji bo ku em xalên herî zêde bibînin, em derivatîfa duyemîn dibînin:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Dîtina xala krîtîk:
Wekhevkirina derîvata yekem a lezê bi sifirê re:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Dabeşkirina li ser 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Faktorîng:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Ji ber vê yekê, xalên krîtîk \(t = 1 \) û \(t = 3 \) ne.
4. Lezkirinê analîz bike da ku herî zêde bibînî:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \tê wateya t = 1 \text{\ herî zêde herêmî ye}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \tê wateya t = 3 \text{\ kêmtirînek herêmî ye}
\]
5. Hesabkirina leza herî zêde:
\(t = 1 \) di hevkêşeya lezê de bi cîh bike:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{ne balkêş})
\]
Ji bo misogerkirina çareseriya çêtirîn, sînor an xalên navberê yên têkildar ên din kontrol bikin.
Bi van gavan, em dikarin ji bo pirsgirêkên cûrbecûr ên serîlêdanê yên li jor qalibek çareseriyê ya li ser bingeha derivatîfê ava bikin.
Xelasî
Nimûneyên li jor nîşan didin ka çawa derivatîf dikarin ji bo çareserkirina pirsgirêkan di gelek çarçoveyan de werin bikar anîn. Dîtina nirxên herî zêde û herî kêm, baştirkirina bi sînor, û analîza tevgerê tenê çend serîlêdanên têgeha derivatîfan in. Serweriya van teknîk û rêbazan ji bo kesên ku matematîka pêşketî û dîsîplînên têkildar dixwînin girîng e.
