베르누이 원리와 방정식 자료
오토바이를 빠르게 타면 입고 있는 옷이 뒤쪽으로 부풀어 오릅니다. 아직 오토바이를 탈 줄 모른다면 오토바이를 타는 부모님이나 친구들을 잘 살펴보세요. 오토바이가 빠르게 달릴 때 그들의 옷 뒷부분이 부풀어 오르는 것을 볼 수 있을 겁니다. 때때로 바람이 세게 불면 집 문이 저절로 닫히는 경우가 있습니다. 바람이 집 밖에서 불어도 문은 집 안에 있는데 말이죠.
이는 베르누이 원리를 이용하여 설명할 수 있습니다. 다니엘 베르누이(1700~1782)는 위의 몇 가지 현상을 설명하는 데 사용할 수 있는 원리를 발견했습니다.
베르누이의 원리
베르누이의 원리에 따르면 유체의 유속이 빠른 곳에서는 유체 압력이 낮아지고, 반대로 유속이 느린 곳에서는 압력이 높아집니다. 오토바이가 빠르게 움직일 때, 몸 앞쪽과 옆쪽의 공기 유속은 빨라지므로 공기 압력은 낮아집니다. 하지만 몸 앞쪽이 뒤쪽을 가리기 때문에 몸 뒤쪽의 공기 유속은 빨라지지 않습니다. 결과적으로 몸 뒤쪽의 공기 압력은 더 높아집니다. 이러한 기압 차이로 인해 몸 바로 뒤쪽의 공기 압력이 더 높아지고, 이 압력 차이가 셔츠를 뒤로 밀어내어 뒤쪽이 부풀어 오른 것처럼 보이게 됩니다.
바람이 세게 불 때 저절로 닫히는 문은 어떨까요? 바깥 공기는 안쪽 공기보다 빠르게 움직입니다. 따라서 바깥 기압은 안쪽 기압보다 낮습니다. 이러한 기압 차이 때문에 안쪽 기압이 더 높은 곳에서 문이 바깥쪽으로 밀려나게 됩니다. 즉, 문은 기압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하는 것입니다.
베르누이 방정식
앞서 우리는 베르누이 원리에 대해 배웠습니다. 베르누이는 이 원리를 정량적으로도 발전시켰습니다. 베르누이 방정식을 유도하기 위해 우리는 유체의 흐름이 정상 상태이고 층류이며, 비압축성이고, 점성은 무시할 수 있을 정도로 낮다고 가정합니다.
연속 방정식에 대한 논의에서 유체 유량은 유동관의 단면적에 따라 달라질 수 있음을 배웠습니다. 앞서 설명한 베르누이 원리에 따르면 유체 압력 또한 유량에 따라 달라질 수 있습니다. 또한 유체 압력은 유체의 높이에 따라서도 달라집니다. 압력, 유량, 그리고 유동 높이 사이의 관계는 베르누이 방정식으로부터 얻을 수 있습니다.
베르누이 방정식은 항공기 비행, 수력 발전소, 배관 시스템 등을 분석하는 데 매우 중요합니다. 우리가 유도할 베르누이 방정식을 일반적인 상황에 적용하기 위해, 단면적이 서로 다르고 높이도 다른 유동관을 통해 유체가 흐른다고 가정합니다(아래 그림 참조). 베르누이 방정식을 유도하기 위해 유동관 영역의 유체에 일-에너지 정리를 적용합니다. 다음으로, 유체의 양과 유체를 이동시키는 데 필요한 일을 계산합니다.
이미지 속 유동관의 불투명한 부분은 유체의 흐름을 나타내고, 흰색 부분은 유체가 흐르지 않음을 나타냅니다.
단면적 1(왼쪽)의 유체가 거리 L₁을 이동하면 단면적 2(오른쪽)의 유체가 거리 L₂만큼 이동합니다. 오른쪽의 단면적 2가 더 작기 때문에 유동관 오른쪽의 유체 유량이 더 큽니다(연속 방정식 참조). 이로 인해 단면적 2(유동관 오른쪽) 와 단면적 1(유동관 왼쪽) 사이에 압력 차이가 발생합니다(베르누이 원리 참조). 단면적 1의 왼쪽 유체는 오른쪽 유체에 압력 P₁을 가하고 다음과 같은 일을 합니다.
그러면 방정식 W 1은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
W 1 = p 1 A 1 L 1
단면 2(유동관의 오른쪽)에서 유체에 가해진 일은 다음과 같습니다.
W 2 = − p 2 A 2 L 2
음의 부호는 작용하는 힘이 운동 방향과 반대 방향임을 나타냅니다. 따라서 유체는 2번 단면의 오른쪽으로 일을 합니다. 또한 중력도 유체에 일을 합니다. 위의 경우, 일정 질량의 유체가 1번 단면에서 L₁만큼 떨어진 곳에서 2번 단면에서 L₂만큼 떨어진 곳으로 이동했습니다 . 여기서 1 번 단면의 유체 부피(A₁L₁ ) 는 2번 단면의 유체 부피(A₂L₂)와 같습니다 . 중력이 한 일은 다음 과 같습니다.
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
음의 부호는 유체가 중력 방향과 반대 방향인 위쪽으로 흐르기 때문입니다. 따라서 위 그림에서와 같이 유체에 가해진 총 일은 다음과 같습니다.
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
일-에너지 정리는 시스템에 가해진 총 일은 시스템의 운동 에너지 변화량과 같다고 말합니다. 따라서 일(W)을 운동 에너지 변화량(EK₂ - EK₁)으로 대체 할 수 있습니다.
위 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
단면 A1에서 거리 L1을 흐르는 유체의 질량은 단면 A2에서 거리 L2를 흐르는 유체의 질량과 같습니다 . 예 를 들어 , 유체의 질량 m은 A1L1 과 A2L2 의 부피 를 가지며 , 여기서 A1L1 = A2L2 입니다 ( L2 는 L1 보다 깁니다 ).
이제 위 방정식에서 m을 m = ρ AL로 대체합니다.
이것이 베르누이 방정식입니다. 우리는 일-에너지 원리를 바탕으로 베르누이 방정식을 유도했으므로, 이는 에너지 보존 법칙의 한 형태입니다.
설명 :
P = 압력
ρ = 유체의 밀도
v = 유체 흐름 속도
g = 중력 가속도
h = 지표면에서 유로관/파이프까지의 높이
위의 베르누이 방정식의 좌변과 우변은 유로상의 임의의 두 점을 가리킬 수 있으므로, 위의 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
이 방정식은 방정식에 있는 양들의 총합이 유로 전체에 걸쳐 동일한 값을 가진다는 것을 나타냅니다.
이제 몇 가지 경우에 대해 베르누이 방정식을 복습해 보겠습니다.
정지 유체에 대한 베르누이 방정식
베르누이 방정식의 특수한 경우는 정지 상태의 유체(정지 유체)에 대한 것입니다. 유체가 정지해 있을 때는 속도가 없으므로 v₁ = v₂ = 0입니다. 정지 상태 의 유체에 대한 베르누이 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
만약 h₂ ‐ h₁ = h라면, 이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
높이가 같은 관이나 파이프의 흐름에 대한 베르누이 방정식
유동관 또는 파이프의 높이가 동일할 경우, 베르누이 방정식은 다음과 같이 변경됩니다.
