연속 방정식 자료
수도꼭지를 천천히 열면서 물이 나오는 양을 관찰해 보세요. 수도꼭지가 더 이상 돌아가지 않으면 손으로 수도꼭지를 부분적으로 막아 보세요. 이제 어느 쪽의 물 흐름이 더 큰지 비교해 보세요. 손으로 부분적으로 막았을 때와 막지 않았을 때 중 어느 쪽이 더 큰가요? 꽃에 물을 줄 때 사용하는 호스가 있다면, 호스에 물을 흘려보내 보세요. 그런 다음 손이나 손가락으로 호스를 부분적으로 막아 보세요. 호스를 막는 부분이 많을수록 물이 더 빨리 흘러나올 것입니다. 반대로 호스를 막지 않으면 물이 더 천천히 흘러나올 것입니다. 왜 그럴까요? 이를 이해하려면 연속 방정식에 대해 알아보세요.
유선과 유로관
먼저 유선과 유동관의 개념을 이해해 봅시다. 이 개념은 연속 방정식을 이해하는 데 도움이 되기 때문에 중요합니다.
유선형
아래 이미지를 보세요. 파란색 선이 스트림라인입니다.
정상 흐름에서 유체 입자는 A 지점에서 일정한 속도를 유지합니다. 유체가 B 지점을 지날 때 입자의 속도는 변할 수 있지만, B 지점에 도달하면 뒤따라오는 입자들은 앞선 입자들과 동일한 속도로 계속 흐릅니다. C 지점에 도달할 때도 마찬가지입니다. 유선은 A, B, C 지점을 연결하는 곡선입니다.
유량관
기본적으로 유체 흐름의 각 지점을 통과하는 유선을 그릴 수 있습니다. 정상 상태 유체 흐름을 고려할 때, 가상의 표면적(가상 표면적)을 특정 각도로 통과하는 여러 유선이 흐름관을 형성합니다. 유체 입자는 서로 교차하지 않고 항상 평행하게 흐르며, 흐름관은 항상 같은 모양을 유지하는 파이프와 유사합니다. 관의 한쪽 끝으로 들어간 유체는 다른 쪽 끝으로 나갑니다.
차변
유량은 특정 시간 간격 동안 특정 단면을 통해 흐르는 유체의 부피를 나타냅니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이해를 돕기 위해 예를 들어 보겠습니다. 유체가 파이프를 통해 흐른다고 가정해 봅시다. 파이프는 일반적으로 원통형이며 특정한 단면적을 가지고 있습니다. 또한 파이프의 길이도 정해져 있습니다.
유체가 파이프를 따라 길이 L만큼 흐를 때, 파이프 내 유체의 부피는 V = AL (V = 유체 부피, A = 단면적, L = 파이프 길이)입니다. 유체가 파이프를 따라 길이 L만큼 흐르는 동안 일정 시간 간격이 소요되므로, 유체 유출량의 크기는 다음과 같습니다.
v = s/t = L/t → L = vt이므로 위의 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.
따라서 특정 단면적과 길이를 가진 파이프를 통해 유체가 일정 시간 동안 흐를 때, 유체 유량(Q)의 크기는 단면적(A)에 유체 유속(v)을 곱한 값과 같습니다.
연속 방정식
아래 그림과 같이 직경이 서로 다른 파이프에서의 유체 흐름을 생각해 보십시오.
이 이미지는 유체가 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르는 것을 보여줍니다(유체가 지름이 큰 파이프에서 지름이 작은 파이프로 흐릅니다). 점선은 유선입니다.
이미지 설명: A₁ = 대구경 파이프 단면적, A₂ = 소구경 파이프 단면적, v₁ = 대구경 파이프 단면에서의 유체 유속, v₂ = 소구경 파이프 단면 에서의 유체 유속, L = 유체가 이동한 거리.
유체역학 개론에서 유체역학은 비압축성, 비점성, 비난류, 정상 상태의 유체 흐름을 다룬다고 설명했습니다. 정상 흐름에서는 한 지점에서의 유체 입자의 속도가 그 지점을 통과하는 다른 유체 입자의 속도와 같습니다. 또한 유체 흐름은 서로 교차하지 않습니다(유선은 평행합니다). 따라서 파이프 한쪽 끝으로 들어가는 유체의 질량은 다른 쪽 끝으로 나가는 유체의 질량과 같아야 합니다. 특정 질량의 유체가 큰 지름의 파이프로 들어가면, 일정한 질량을 유지한 채 작은 지름의 파이프를 통해 빠져나갑니다.
자, 위의 파이프 그림을 보세요. 파이프에서 지름이 큰 부분과 지름이 작은 부분을 비교해 보세요.
일정 시간 간격 동안 일정량의 유체가 직경이 큰 파이프 구간(A)을 통해 흐른다.1) L까지1 (L1 = v1 t). 흐르는 유체의 부피는 V입니다.1 = A1 L1 = A1 v1 t. 같은 시간 간격 동안, 더 작은 직경(A)을 가진 파이프 구간을 통해 또 다른 양의 유체가 흐릅니다.2) L까지2 (L2 = v2 t). 흐르는 유체의 부피는 V입니다.2 = A2 L2 = A2 v2 t.
비압축성 유체에 대한 연속 방정식 (압축할 수 없는)
먼저 비압축성 유체의 경우를 생각해 보겠습니다. 비압축성 유체는 밀도, 즉 질량이 유체가 통과하는 모든 지점에서 항상 동일합니다. 단면적이 A1 ( 파이프의 큰 지름)인 파이프를 특정 시간 간격 동안 흐르는 유체의 질량은 다음과 같습니다.
마찬가지로, 단면적이 A²인 파이프(작은 파이프 직경)를 특정 시간 간격 동안 흐르는 유체의 질량은 다음 과 같습니다.
정상 흐름에서 유입되는 유체의 질량과 유출되는 유체의 질량이 같다고 가정하면 다음과 같습니다.
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (유체 밀도와 시간 간격이 같으므로 서로 상쇄됩니다)
A 1 대 1 = A 2 대 2
따라서 비압축성 유체에서는 연속 방정식이 적용됩니다.
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 방정식 1
설명 :
A₁ = 단면적 1, A₂ = 단면적 2, v₁ = 단면적 1에서 의 유체 유속, v₂ = 단면적 2에서 의 유체 유속, Av = 체적 유량 ( V/t , 즉 유출량)
식 1은 유량(유출량이라고도 함)이 파이프 또는 유로의 모든 지점에서 항상 동일함을 보여줍니다. 파이프 단면적이 감소하면 유체 유량은 증가하고, 반대로 파이프 단면적이 증가하면 유체 유량은 감소합니다.
수도꼭지를 부분적으로 막으면 완전히 닫았을 때보다 물의 흐름이 더 빨라집니다. 이는 수도꼭지를 부분적으로 닫으면 수도꼭지의 단면적이 줄어들어 물의 유속이 증가하기 때문입니다(유체가 더 빨리 흐릅니다). 호스도 마찬가지입니다. 하지만 수도꼭지를 부분적으로 닫든 완전히 닫든 물이 흐르는 모든 지점에서 유량(토출량)은 동일하게 유지된다는 점에 유의해야 합니다. 즉, 변하는 것은 유체의 흐름 속도입니다.
그렇다면 강물의 흐름은 어떨까요? 강의 깊은 곳은 얕은 곳보다 단면적이 크기 때문에 물의 흐름 속도는 더 느립니다. 강물이 아주 잔잔하게 흐른다면 그 강은 깊은 곳입니다. 반대로 강물이 갑자기 빠르게 흐른다면 그 구간은 분명히 얕은 곳입니다. 하지만 물의 총량 흐름 속도는 강의 깊은 곳이든 잔잔한 곳이든 항상 같습니다.
압축성 유체에 대한 연속 방정식 (압축 가능)
압축성 유체의 경우 , 유체의 밀도는 항상 일정하지 않습니다. 즉, 압축될 때 유체의 밀도가 변합니다. 비압축성 유체의 경우에는 유체의 밀도가 방정식에서 제외되지만 , 이 경우에는 유체의 밀도가 여전히 포함됩니다. 앞서 유도한 방정식을 참조하여 압축성 유체에 대한 방정식을 유도해 보겠습니다.
정상 흐름에서 유입되는 유체의 질량과 유출되는 유체의 질량이 같다고 가정하면 다음과 같습니다.
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
유체 흐름의 시간 간격이 동일하므로 이를 제거할 수 있습니다. 따라서 방정식은 다음과 같이 변경됩니다.
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 방정식 2
이 방정식은 압축성 유체에 대한 것입니다. 유일한 차이점은 유체의 밀도에 있습니다. 유체가 압축되면 밀도가 변합니다. 반대로, 비압축성 유체의 경우 밀도는 일정하게 유지되므로 밀도 변화는 무시할 수 있습니다.
예시 문제 1:
지름이 10cm인 파이프를 통해 물이 2m/s의 속도로 흐릅니다. 물의 유량은 얼마입니까?
논의
알려진 바에 따르면:
파이프 직경 = 10cm (파이프의 내경입니다)
파이프 반지름(r) = 5cm = 0,05m
물의 속도 = 2 m/s
질문: 직불
답변 :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
예시 문제 2:
지름이 20cm인 수도관이 지름이 10cm인 다른 수도관에 연결되어 있습니다. 지름이 20cm인 수도관의 유속이 4m/s일 때, 지름이 10cm인 수도관의 유속은 얼마입니까?
논의
알려진 바에 따르면:
지름 1 = 20cm (r 1 = 10cm = 0,1m)
v1 = 4 m/s
지름 2 = 10cm (r 2 = 5cm = 0,05m)
질문: v 1
답변 :
Q 1 = Q 2
A 1 대 1 = A 2 대 2
( π r 12 ) (4m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m 2 )(4 m/s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
(0,04 m 3 /s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
v2 = 16 m/s
