베르누이 원리와 방정식의 응용

베르누이 원리와 방정식의 응용

토리첼리의 정리

베르누이 방정식의 한 가지 용도는 용기 바닥에서 나오는 액체의 속도를 계산하는 것입니다.

베르누이 방정식을 점 1(용기의 표면)과 점 2(구멍의 표면)에 적용합니다. 용기 바닥의 구멍 지름이 용기 지름보다 훨씬 작으므로 용기 표면에서의 액체 속도는 0으로 가정합니다(v₁ ₌ 0). 용기 표면과 구멍 표면은 열려 있으므로 압력은 대기압과 같습니다(P₁ ₌ P₂ ₎ . 따라서 이 경우의 베르누이 방정식은 다음과 같습니다.

용기 바닥의 구멍을 통해 흐르는 액체의 유량을 계산하려면 이 방정식은 다음과 같이 변경됩니다.

이 방정식에 따르면, 용기 표면에서 거리 h만큼 떨어진 구멍을 통해 흐르는 물의 유속은 거리 h만큼 떨어진 곳에서 자유낙하하는 물의 유속과 같습니다(자유낙하 운동 참조). 이것은 토리첼리의 정리 로 알려져 있습니다 . 이 정리는 베르누이가 자신의 방정식을 발견하기 한 세기 전에 갈릴레오의 제자였던 토리첼리에 의해 발견되었습니다.

벤투리 효과 

토리첼리 정리 외에도 베르누이 방정식은 유체가 거의 동일한 높이(높이 차이가 작은)의 파이프 구간을 흐를 때와 같은 특수한 경우에도 적용될 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는... 펜j그러므로 사진을 잘 살펴보십시오. 

위 이미지에서 파이프의 큰 단면적 부분과 작은 단면적 부분의 높이가 거의 같아 보이므로, 두 부분을 같은 높이로 간주합니다. 이 경우에 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같이 바뀝니다.

유체가 단면적이 작은 파이프 구간(A)을 통과할 때₂그러면 유체의 속도가 증가합니다. 베르누이 원리에 따르면 유체의 속도가 증가하면 유체의 압력은 감소합니다. 파이프의 좁은 부분에서는 유체의 압력이 작지만 유체의 유량은 더 큽니다.

이는 벤투리 효과로 알려져 있으며, 유체 유속이 높으면 유체 압력이 낮아지고, 반대로 유체 유속이 낮으면 유체 압력이 높아진다는 것을 정량적으로 보여줍니다.

벤츄리 미터

벤투리 효과를 이용한 흥미로운 응용 사례 중 하나는 벤투리 유량계입니다. 이 기기는 파이프를 통해 흐르는 물이나 기름의 유량을 계산하는 등 유체의 유량을 측정하는 데 사용됩니다. 벤투리 유량계에는 압력계가 없는 것과 수은과 같은 다른 유체로 채워진 압력계를 사용하는 것 두 가지 유형이 있습니다. 작동 원리는 동일합니다.

압력계가 없는 벤투리 미터

아래 이미지는 파이프 내 액체의 유량을 측정하는 데 사용되는 벤투리 유량계를 보여줍니다.

액체가 단면적이 작은 파이프 구간(A₂)을 통과할 때 _액체 의 속도는 증가합니다. 베르누이 원리에 따르면 액체의 속도가 증가하면 액체의 압력은 감소합니다. 따라서 큰 단면적에서의 액체 압력은 작은 단면적에서의 액체 압력보다 큽니다(P₁ _> P₂ ₎ . 반대로, v₂ _> v₁ _{입니다 .}

구하고자 하는 것은 큰 단면적에서의 액체 유량(v _{1 )입니다. 방정식 1의 v 2를 방정식 2} 의 v 2로 대체합니다.

특정 깊이에서의 유체 압력을 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.

p = ρ gh → 방정식 a

유체 밀도 차이가 매우 작다면, 이 방정식을 사용하여 높이에 따른 압력 차이를 구할 수 있습니다. 따라서 방정식 a는 다음과 같이 변경될 수 있습니다.

Δ p = ρ g Δh

위의 경우, 이 방정식은 다음과 같이 변경될 수 있습니다.

p ₁ − p ₂ = ρ gh → 방정식 b

_{이제 방정식 3의 p 1} - p _2를 방정식 b의 p ₁ - p ₂ 로 대체합니다 .

두 액체가 동일하므로 밀도 또한 동일해야 합니다. 따라서 방정식에서 ρ를 소거합니다.

피토관

벤투리 유량계를 사용하여 액체의 유량을 측정하는 경우, 피토관을 사용하여 기체 또는 공기의 유량을 측정합니다. 1번 지점의 구멍은 공기 흐름과 평행합니다. 이 두 구멍은 공기 흐름 방향에서 상당히 멀리 떨어져 있습니다. 피토관 끝부분의 공기 속도와 압력이 구멍 바깥쪽의 공기 속도와 압력과 자유 유동 공기의 속도와 압력이 같아지도록 합니다. 이 경우, v₁ = 자유 유동 공기 유량(측정할 값) 및 마노미터 왼쪽 관(왼쪽 파이프)의 압력 = 자유 유동 공기 압력(P)₁).

마노미터 오른쪽 다리로 이어지는 구멍은 공기 흐름에 수직입니다. 따라서 이 구멍(중앙 부분)을 통과하는 공기 유량은 감소하고, 공기는 ​​2번 지점에 도달하면 멈춥니다. 이 경우 v₂ _{= 0입니다. 마노미터 오른쪽 다리의 압력은 2번 지점의 공기 압력( P₂} ) 과 같습니다 . 1번 지점과 2번 지점의 높이는 거의 같으므로(차이가 크지 않으므로) 무시할 수 있습니다.

압력 차이(P₂ _- P₁ ₎ = 마노미터 내부 액체의 정수압(마노미터의 검은색은 액체, 즉 수은입니다). 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

p ₂ − p ₁ = ρ' gh → 방정식 2

ρ' = 마노미터 내 액체의 밀도

방정식 1과 방정식 2를 살펴보세요. 좌변은 (P ₂ ‐ P ₁ )과 같습니다. 따라서 방정식 1과 2는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

향수 스프레이

이는 일반적인 개요이며, 각 공장마다 설계 방식이 다릅니다.

일반적으로 향수 분무기의 작동 원리는 다음과 같이 설명할 수 있습니다(그림 참조). 고무공을 누르면 고무공 안의 공기가 1번 파이프를 통해 분출됩니다. 따라서 1번 파이프 안의 공기는 속도가 더 빠릅니다. 공기 속도가 빠르기 때문에 1번 파이프 안의 공기압은 낮아집니다. 반대로 2번 파이프 안의 공기는 속도가 더 느리고 공기압은 더 높습니다. 결과적으로 향수액이 위로 밀려 올라갑니다. 향수액이 1번 파이프에 도달하면 고무공 안에서 분출된 공기가 향수액을 밀어냅니다. 이렇게 향수액이 분사되어 몸을 적시게 됩니다.

보통 구멍이 작아서 향수가 빨리 흘러나옵니다.

스포이드나 사이펀을 이용하여 마시세요.

스포이트로 아이스티나 시럽을 마셔본 적이 있나요? 스포이트로 물을 빨아들일 때, 실제로 스포이트 안의 공기가 더 빨리 움직이게 됩니다. 이때 입에 닿는 스포이트 부분의 공기 속도가 더 빨라지죠. 그 결과, 스포이트 윗부분의 공기압은 낮아집니다. 반대로 음료에 가까운 부분의 공기는 속도가 느리기 때문에 압력이 더 높아집니다. 이러한 압력 차이 때문에 우리가 마시는 물이나 음료가 입으로 흘러들어가는 것입니다. 즉, 액체는 압력이 높은 부분에서 압력이 낮은 부분으로 이동하는 것이죠.

굴뚝

굴뚝을 본 적이 있나요? 수라바야, 세마랑, 자카르타 같은 도시에 살고 있다면 공장 굴뚝을 많이 봤을 겁니다. 연기는 왜 굴뚝을 통해 위로 올라갈까요? 첫째, 연소 과정에서 발생하는 연기는 뜨겁습니다. 높은 온도 때문에 공기 밀도가 낮아지죠. 밀도가 낮은 공기는 쉽게 떠오르거나 위로 올라갑니다. 하지만 이것만이 이유는 아닙니다... 베르누이의 원리도 관련되어 있습니다.

둘째, 베르누이의 원리는 공기 흐름 속도가 높으면 압력이 낮아지고, 반대로 공기 흐름 속도가 낮으면 압력이 높아진다는 것입니다. 굴뚝 꼭대기는 바깥에 있습니다. 굴뚝 꼭대기에는 바람이 불기 때문에 주변 공기압이 낮습니다. 밀폐된 실내에는 바람이 불지 않으므로 공기압이 높습니다. 따라서 연기는 굴뚝을 통해 밖으로 배출됩니다. 공기는 높은 기압에서 낮은 기압으로 이동합니다.

쥐들도 베르누이의 원리를 알고 있다.

아래 그림을 보세요. 땅에 있는 쥐구멍 사진입니다. 쥐도 베르누이의 원리를 이해합니다.

쥐들은 질식사하지 않기 위해 높이가 다른 두 개의 구멍을 팠습니다. 지면 높이 차이로 인해 공기가 서로 압축되었습니다. 이는 단면적이 큰 파이프에서 단면적이 작은 파이프로 물이 흐르는 것과 유사합니다. 압축으로 인해 공기 속도는 증가하고 기압은 감소합니다.

기압 차이 때문에 공기는 쥐구멍을 통해 흐르게 됩니다. 공기는 고기압에서 저기압으로 흐릅니다.

항공기 양력

비행기가 날 수 있게 해주는 요소 중 하나는 날개입니다. 비행기 날개는 곡선 모양이며, 앞쪽이 뒤쪽보다 두껍습니다. 이러한 날개 모양을 에어포일이라고 합니다. 이 아이디어는 새의 날개에서 본뜬 것으로, 새의 날개도 비슷한 모양(곡선형에 앞쪽이 두꺼운 형태)을 가지고 있습니다. 차이점은 새의 날개는 날갯짓을 할 수 있지만, 비행기의 날개는 날갯짓을 할 수 없다는 것입니다. 새는 날갯짓을 통해 날개 양쪽으로 공기 흐름을 만들어 날 수 있습니다. 비행기 날개 양쪽으로 공기가 흐르도록 하려면 비행기를 앞으로 움직여야 합니다. 인간은 엔진을 사용하여 비행기를 움직입니다.

날개 앞부분은 위쪽으로 휘어져 있습니다. 아래에서 올라오는 공기는 위쪽의 공기와 서로 부딪히는데, 마치 단면적이 큰 파이프에서 단면적이 좁은 파이프로 물이 흐르는 것과 같습니다. 그 결과, 날개 위쪽의 공기 속도가 증가합니다. 공기 속도가 증가함에 따라 기압은 감소합니다. 반대로, 날개 아래쪽의 공기는 밀도가 낮아(기압이 높아) 공기 속도가 더 느려집니다. 이러한 압력 차이로 인해 비행기 날개가 위쪽으로 밀려 올라갑니다.

베르누이 원리는 비행기가 양력을 얻는 여러 요인 중 하나일 뿐입니다. 또 다른 중요한 요인은 운동량입니다. 일반적으로 비행기 날개는 약간 위쪽으로 기울어져 있습니다. 날개 아랫면에 부딪히는 공기는 아래쪽으로 휘어집니다. 비행기는 왼쪽과 오른쪽에 두 개의 날개가 있기 때문에 휘어진 공기가 서로 충돌합니다. 충돌하는 공기 분자의 운동량 변화가 추가적인 양력을 발생시킵니다.

날개가 꼬리 쪽으로 갈수록 아래쪽으로 휘어지기 때문에, 날개는 공기를 아래쪽으로 밀어냅니다. 뉴턴의 제3법칙에 따르면 모든 작용에는 반작용력이 있습니다. 날개가 공기를 아래로 밀어내므로, 공기는 ​​날개를 위로 밀어 올려야 합니다. 이 경우, 공기는 ​​날개에 양력을 발생시킵니다. 따라서 베르누이의 원리만이 비행기가 양력을 얻는 유일한 요인은 아닙니다.

어부들도 베르누이의 원리를 알고 있다.

요트 타보신 적 있으세요? 어부들도 베르누이 원리가 어떻게 작용하는지 잘 알고 있답니다 😉