투사체 운동

포물체 운동에 관한 글과 예제 문제 및 풀이

초기 속도(v)_o) 및 초기 속도의 구성 요소(v)_ox 및 v_oy)

포물선 운동을 하는 물체는 항상 초기 속도를 갖습니다. 포물선 운동은 수평 방향과 수직 방향 운동의 조합이므로 초기 속도 또한 수평 및 수직 성분을 가집니다.

그림 1과 3에서처럼 물체가 포물선 궤적을 따라 움직이는 경우, 수평 방향 초기 속도(vox ₎ 와 수직 방향 초기 속도(voy ₎ 는 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

물체가 그림 2와 같이 포물선 궤적을 그리며 움직인다면 v _o = v _ox (v _oy = 0) 입니다.

속도(v)_x 및 v_y) 및 위치(x 및 y)

특정 시간 간격 동안의 수평 및 수직 방향 속도는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

v _x = v _ox = 일정 ( 등속 직선 운동 )

v _y = v _oy + gt 또는 v _y ² = v _oy ² + 2 gh (자유낙하 운동)

특정 시간 간격에서의 물체의 수평(x) 및 수직(y) 위치는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

속도(v)와 위치(h)의 합력

특정 시간 간격에서의 최종 속도는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

특정 시간 간격 동안 물체의 방향은 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

배송 시 요청 사항:

1. 포물선 운동의 수평 성분은 등속 직선 운동으로 간주되므로 vox = vx는 항상 일정합니다.

2. 포물선 운동의 수직 성분은 자유 낙하 운동으로 간주되므로, 그림 1과 3처럼 물체가 포물선 운동을 할 경우, 최고 높이에서의 물체 속도의 수직 성분은 0입니다(v _y = 0). 구슬을 똑바로 위로 던지면 최고 높이까지 도달한 후 잠시 정지 상태가 됩니다(v _y = 0). 따라서 포물선 운동을 하는 물체의 최고 높이에서의 속도는 v _x = v _{ox 입니다.}

3. 그림 2와 같이 물체가 포물선 궤적을 따라 움직이는 경우, 포물선 운동의 수직 성분은 자유낙하 운동으로 간주됩니다. 그림 1과 3과 같이 물체가 포물선 궤적을 따라 움직이는 경우, 포물선 운동의 수직 성분은 위쪽 방향의 수직 운동으로 간주됩니다.

예시 문제:

1. 총알이 수평 방향으로 초기 속도 20m/s로 발사되었습니다. 총이 지면에서 5m 높이에 있다면 다음을 구하십시오.

(a) 공중 체류 시간

(b) 최대 높이

(c) 수평 거리

(d) 총알이 지면에 부딪힐 때의 속도

해결 방법 :

수평 방향의 운동은 등속 직선 운동처럼 분석하고, 수직 방향의 운동은 자유 낙하 운동처럼 분석한다.

모두 다 아는:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) 비행 시간

해결 방법은 자유 낙하 운동에서 시간 간격(t)을 결정하는 것입니다.

알려진 값: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

구함: t

b) 최대 높이

최대 높이 = h = 5미터.

c) 수평 거리 (d)

해결 방법은 등속 직선 운동에서의 거리를 구하는 것과 같습니다.

알려진 값: v _ox = 20 m/s, t = 1 초

구함: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) 총알이 지면에 닿을 때의 속도

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

먼저 수직 방향의 최종 속도(vty)를 계산합니다. 계산 과정은 자유낙하 운동의 최종 속도를 구하는 것과 유사합니다.

알려진 값: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

구함: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

총알이 땅에 떨어질 때의 속도:

총알의 방향:

v _tx 는 양의 x축 방향(오른쪽)이고 v _ty 는 음의 y축 방향(아래쪽)이기 때문에,

총알이 지면에 닿을 때의 방향은 양의 x축에 대해 -26.1 ^{° 입니다(아래 그림 참조).}

2. 대포가 수평면과 30 ^도 각도로 60m/s의 속도로 포탄을 발사했습니다. 다음을 구하십시오.

(a) 최대 높이

(b) 최고 고도에서의 총알 속도

(c) 공중 체류 시간

(d) 수평 거리

(e) 총알이 땅에 떨어질 때의 속도. 땅이 평평하다고 가정해 봅시다. 🙂

해결 방법 :

수평 방향 운동은 등속 직선 운동처럼 분석하고, 수직 방향 운동은 위쪽 방향의 수직 운동처럼 분석합니다.

알려진 값: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

알려진 데이터를 바탕으로 먼저 초기 속도(vo)의 수직 성분(voy)과 수평 성분 ₍ vox _{) 을} 계산합니다.

a) 최대 높이(h)

해결책은 수직 상승 운동에서 최대 높이를 결정하는 것과 같습니다.

모두 다 아는:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) 최대 높이(h)

해결 방법은 수직 상승 운동에서 최대 높이를 결정하는 것과 같습니다.

모두 다 아는:

v _oy = 30 m/s (이것은 총알의 초기 속도입니다)

v _ty = 0 m/s (최고 높이에서 총알의 수직 속도는 0 m/s입니다. 이것이 최종 속도입니다.)

g = – 9.8 m/ ^s²

구함: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6시간

900 = 19.6시간

h = 900 / 19.6

h = 45.9미터

총알이 도달한 최대 높이는 45.9미터입니다.

b) 최고 높이에서의 속도

최고 높이에 도달하면 수직 방향 속도는 0m/s가 됩니다. 최고 고도에서는 수평 방향 속도만 존재합니다. 최고 높이에서의 수평 방향 속도는 초기 수평 방향 속도와 같으며, 이는 52.2m/s입니다. 수평 방향 속도의 방향은 항상 일정하며, 즉 양의 x축 방향입니다(위 그림과 같이 물체의 운동을 나타낼 경우).

c) 공중 체류 시간

해결책은 수직 상승 운동에 대한 논의에서 시간 간격(t)을 결정하는 것과 같습니다.

모두 다 아는:

v _oy = 30 m/s (이것은 총알의 수직 방향 초기 속도입니다)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0m (총알이 지면으로 되돌아올 때, 총알의 수직 방향 변위는 0m입니다.)

구함: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9t

t = 30 / 4.9

t = 6.12초

체공 시간 = 6.12초

d) 수평 거리 (d)

해결 방법은 등속 직선 운동에서 거리(d)를 구하는 것과 같습니다.

모두 다 아는:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12초

구함: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12초) = 319.5 m

e) 총알이 지면에 닿을 때의 속도

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

먼저 수직 방향의 최종 속도(v _ty )를 계산합니다. 이 해법은 수직 상승 운동에서의 최종 속도를 결정하는 것입니다.

구하는 값: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12초

구함: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

음의 부호는 최종 속도의 방향이 아래쪽임을 나타냅니다. 수직 방향의 초기 속도는 수직 방향의 최종 속도와 같습니다.

총알이 땅에 떨어질 때의 속도:

총알의 방향:

v _tx 는 양의 x축 방향(오른쪽)이고 vty는 음의 y축 방향(아래쪽)이므로,

총알이 지면에 부딪힐 때의 속도 방향은 양의 x축을 기준으로 -30 ^{° 입니다(아래 그림 참조).}

3. 공이 50미터 높이의 건물 가장자리에서 초기 속도 10m/s로 던져졌습니다. 공이 수평면을 기준으로 30° 각도로 던져졌을 때, 다음을 구하십시오.

(a) 공이 지면에 도달하는 시간 간격

(b) 공이 땅에 닿을 때의 속도

(c) 공이 도달할 수 있는 수평 거리는 건물의 가장자리에서 측정합니다.

(d) 공이 도달한 최대 높이

해결 방법 :

먼저 초기 속도(vo)의 _{수직 성분( voy} )과 수평 성분(vox ₎ 을 계산합니다.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) 공이 지면에 닿는 시간 간격

이 해법은 수직 상승 운동에서 시간 간격(t)을 결정하는 것과 같습니다. 위쪽 방향 벡터의 크기를 양수로, 아래쪽 방향 벡터의 크기를 음수로 선택합니다. 공을 던진 위치를 기준점으로 선택합니다. 지면이 기준점 아래에 있으므로 h는 음수이고, 중력 가속도의 방향이 아래쪽이므로 g는 음수입니다.

모두 다 아는:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

구함: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5t – ^4.9t²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

근의 공식을 사용하세요:

공중 체류 시간 = 공이 던져진 시점부터 지면에 도달할 때까지의 시간 간격 = 1.64초.

b) 공이 지면에 닿을 때의 속도

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

먼저 수직 방향의 최종 속도(v _ty )를 계산합니다. 이 과정은 수직 상승 운동 시의 최종 속도를 구하는 것과 유사합니다.

알려진 값: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64초

구함: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

음수 부호는 최종 속도의 방향이 아래쪽임을 나타냅니다.

총알이 땅에 떨어질 때의 속도:

총알의 속도 방향 = 총알이 지면에 부딪힐 때의 운동 방향:

총알이 땅에 떨어질 때의 속도:

vtx는 양의 x축 방향(오른쪽)이고 vty는 음의 y축 방향(아래쪽)이기 때문에,

총알이 지면에 닿을 때의 방향은 양의 x축을 기준으로 -52°입니다(아래 그림 참조).

c) 공이 도달할 수 있는 수평 거리는 건물의 가장자리에서 측정합니다.

해결 방법은 등속 직선 운동에서 이동 거리(d)를 구하는 것과 같습니다.

알려진 값: t = 1.64초, v _x = 8.7m/s

구함: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) 공이 도달한 최대 높이

알려진 값: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( 최대 높이에서의 속도의 수직 성분 = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

구함: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 미터

공이 도달한 최대 높이는 건물 꼭대기에서 1.3미터이므로, 지면으로부터 1.3m + 50m = 51.3미터입니다.