ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ - ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ - ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

1. A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ 6 m/s ಆಗಿದ್ದರೆ, B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ √92 m/s ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧನೆ g = 10 m/s ² ಆಗಿದ್ದರೆ , B (h) ಬಿಂದುವಿನ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು?

ತಿಳಿದಿದೆ:

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ (v_A) = 6 ಮೀ/ಸೆ

_{B (v B} ) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ = √92 m/s

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇಗವರ್ಧನೆ (g) = 10 ಮೀ/ಸೆ ²

_{A (h A} ) ನ ಎತ್ತರ = 5.6 ಮೀಟರ್

_{B (h B} ) ನ ಎತ್ತರ = h

ಬೇಕಾಗಿರುವುದು : ಬಿ ಬಿಂದುವಿನ ಎತ್ತರ (ಗಂ)

ಪರಿಹಾರ:

ಆರಂಭಿಕ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ = 0, ಆದ್ದರಿಂದ ಚೆಂಡಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ = 0. KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

ಚೆಂಡು 5.6 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಚೆಂಡು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m

ಆರಂಭಿಕ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ + ಚಲನ ಶಕ್ತಿ = 56 ಮೀ + 0 = 56 ಮೀ

ಅಂತಿಮ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ + ಚಲನ ಶಕ್ತಿ

B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ಎತ್ತರ h. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

ಚೆಂಡಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ : KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m

ಅಂತಿಮ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ + ಚಲನ ಶಕ್ತಿ = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ತತ್ವ:

ಆರಂಭಿಕ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ = ಅಂತಿಮ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ

೫೬ ಮೀ = ಮೀ (೧೦ ಗಂ + ೪೬)

56 = 10 ಗಂ + 46

೫೬ – ೪೬ = ೧೦ ಗಂಟೆಗಳು

10 = 10 ಗಂ

ಗಂ = 10/10

h = 1 ಮೀಟರ್‌ಗಳು

2.

ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ = 10 ಮೀ/ಸೆ ² ಆಗಿದ್ದರೆ, B ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ತಿಳಿದಿದೆ:

ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ (v _o ) = 0

ಆರಂಭಿಕ ಎತ್ತರ (h _o ) = 50 ಮೀ – 10 ಮೀ = 40 ಮೀ

ಅಂತಿಮ ಎತ್ತರ (h _t ) = 0

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇಗವರ್ಧನೆ (g) = 10 ms ^-2

ಬೇಕಾಗಿರುವುದು: ಅಂತಿಮ ವೇಗ (ವಿ _ಟಿ )

ಪರಿಹಾರ:

ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆ:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಾವಣೆ:

ΔPE = ಮಿಗ್ರಾಂ (h _t – h _o ) = ಮೀ (10)(0-40) = ಮೀ (10)(-40) = – 400 ಮೀ

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ತತ್ವದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಿಮ ವೇಗವನ್ನು (v _t ) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 ಮೀ _ಟಿ ² – 400 ಮೀ

1/2 ಮೀ.ವಿ. _ಟಿ ² = 400 ಮೀ.

1/2 ವಿ _ಟಿ ² = 400

ವಿ _ಟಿ ² = 2(400)

ವಿ _ಟಿ = √(400)(2)

ವಿ _ಟಿ = 20√2 ಮೀ/ಸೆ

1. "ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ" ಎಂದರೇನು?
   • ಉತ್ತರ: ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಎಂದರೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಂತಹ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ (ಚಲನ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತು (ಬಾಗಿದ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಉರುಳುವ ಚೆಂಡಿನಂತೆ) ತನ್ನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ವಸ್ತುವು ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿಯು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿಯಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಗಳು (ಘರ್ಷಣೆಯಂತಹವು) ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ.
3. ಬಾಗಿದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚೆಂಡನ್ನು ನಿಶ್ಚಲತೆಯಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೆಳಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅದರ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ಚೆಂಡಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು, ಅದು ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
4. ಘರ್ಷಣೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಾಗಿದ ಸ್ಲೈಡ್‌ನ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗವು ಅದೇ ಎತ್ತರದ ನೇರ ಸ್ಲೈಡ್‌ಗೆ ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ಬಾಗಿದ ಮತ್ತು ನೇರವಾದ ಸ್ಲೈಡ್‌ಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಚೆಂಡಿನ ಕೆಳಭಾಗದ ವೇಗ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಸ್ಥಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಲಂಬ ಎತ್ತರದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ.
5. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎತ್ತರದಿಂದ ಇಳಿದ ನಂತರ ಬಾಗಿದ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿದಾಗ ಚೆಂಡು ತನ್ನ ಮೂಲ ಎತ್ತರವನ್ನು ಏಕೆ ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ?
   • ಉತ್ತರ: ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಘರ್ಷಣೆಯಂತಹ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿಯಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವು ಚಲನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಚೆಂಡಿನ ಕೆಲವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಾಖದಂತಹ ಇತರ ರೂಪಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಚೆಂಡು ಅದರ ಮೂಲ ಎತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.
6. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳು (ಉದಾ: ಗೋಳ ಮತ್ತು ಘನ) ಒಂದೇ ಎತ್ತರದಿಂದ ಬಾಗಿದ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಉರುಳದೆ ಕೆಳಗೆ ಜಾರಿದರೆ, ಅವು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಯೇ? ಏಕೆ?
   • ಉತ್ತರ: ಹೌದು, ಅವು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉರುಳುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಏಕೈಕ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಆಕಾರವಲ್ಲ, ಆರಂಭಿಕ ಎತ್ತರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ.
7. ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಕ್ರತೆಯು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಲದ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ವಸ್ತು ಚಲಿಸುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಲದ ದಿಕ್ಕು ಬದಲಾಗಲು ವಕ್ರತೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಮೇಲ್ಮುಖ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ (ಬೌಲ್‌ನ ಒಳಭಾಗದಂತೆ), ವಕ್ರ ಚಲನೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ಬಲದಿಂದಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಲವು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪೀನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಲವು ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು (ವಸ್ತುವು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ).
8. ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಯಾವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿಯಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಳೆದುಹೋದ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು.
9. ಒಂದು ಹಳಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಇದ್ದರೆ (U-ಆಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಂತೆ), ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅದರ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?
   • ಉತ್ತರ: ವಸ್ತುವಿನ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿಯು ಅದು ಇಳಿಜಾರಿನತ್ತ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತಸ್ಥ ಶಕ್ತಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಚಲನೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
10. ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಭ್ರಮಣ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಬಹುದೇ?

• ಉತ್ತರ: ಹೌದು, ಚೆಂಡಿನಂತಹ ವಸ್ತುವು ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ (ಜಾರದೆ) ಉರುಳಿದರೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಿ ಅದು ಅನುವಾದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.