ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು - ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು - ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

1. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು.

V₁ = 30

ವಿ ₂ = 30

ವಿ ₃ = 40

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಯಾವುವು.

ತಿಳಿದಿದೆ:

V ₁ = 30, V ₁ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ = 30 ^o

V ₂ = 30, V ₂ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ = 30 ^o

V ₃ = 40, V ₃ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ = 0 ^o

ಬೇಕಾಗಿರುವುದು: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು

ಪರಿಹಾರ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಎಡಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

ವಿ _x = ವಿ _1x – ವಿ _2x + ವಿ _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್ :

2. ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಬಲಗಳು, F ₁ = 12 N ಮತ್ತು F ₂ = 5 N. ಎರಡೂ ಬಲಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು?

ತಿಳಿದಿದೆ:

ಬಲ 1 (F ₁ ) = 12 ನ್ಯೂಟನ್

ಬಲ 2 (F ₂ ) = 5 ನ್ಯೂಟನ್

ಬೇಕಾಗಿರುವುದು: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ( ΣF )

ಪರಿಹಾರ:

ΣF ² = ಎಫ್ ₁ ² + ಎಫ್ ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 ನ್ಯೂಟನ್

3. ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು,

V₁ = 30

ವಿ ₂ = 30

ವಿ ₃ = 40

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ತಿಳಿದಿದೆ:

v ₁ = 30, ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 30 ^o ಮಾಡುತ್ತದೆ.

v ₂ = 30, ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ 30 ^o ಮಾಡುತ್ತದೆ.

v ₃ = 40, ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ 0 ^o ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬೇಕಾಗಿರುವುದು: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು

ಪರಿಹಾರ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಎಡಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. )

v _3y = v ₃ ಪಾಪ 0 ^o = (40) (0) = 0

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್:

4. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು :

ತಿಳಿದಿದೆ:

F₁ = 3 ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಳು, ಮಾಡುತ್ತದೆ 60^o ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ

F ₂ = 3 ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಳು, ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ 0 ^o ಮಾಡುತ್ತದೆ .

F ₃ = 6 ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಳು , ಋಣಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 60 ^{o ಮಾಡುತ್ತದೆ}

ಬೇಕಾಗಿದೆ: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್

ಪರಿಹಾರ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಎಡಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ( ಕೆಳಗೆ ) )

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್:

5. ಎರಡು ಬಲಗಳು, F ₁ = 15 N ಮತ್ತು F ₂ = 9 N. ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 60° ಆಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು?

ಬೇಕಾಗಿದ್ದಾರೆ :

ಬಲ 1 (F ₁ ) = 15 ನ್ಯೂಟನ್

ಬಲ 2 (F ₂ ) = 9 ನ್ಯೂಟನ್

ಕೋನ ( θ ) = 60 ^o

ಬೇಕಾಗಿದೆ: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್

ಪರಿಹಾರ:

6. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವೇನು?

ತಿಳಿದಿದೆ:

F₁ = 20 ನ್ಯೂಟನ್, F ನಡುವಿನ ಕೋನ₁ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷ = 0

F ₂ = 20 ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಳು, F ₂ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ = 60

F ₃ = 24 ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಳು, F ₃ ಮತ್ತು x ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ = 60

ಬೇಕಾಗಿದೆ: ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್

ಪರಿಹಾರ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಬಲಕ್ಕೆ ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಎಡಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಧನಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಎಡಕ್ಕೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ( ಕೆಳಗೆ ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳು:

ಎಫ್ _x = ಎಫ್ _1x – ಎಫ್ _2x – ಎಫ್ _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್: