Корреляция коэффициентін анықтау: кіріспе, әдістер және қолданылуы
Корреляция коэффициенті - деректер жиынындағы екі айнымалы арасындағы байланыстың беріктігін анықтайтын статистикалық өлшем. Корреляциялар -1-ден 1-ге дейін. 1 немесе -1-ге жақын коэффициент мәні екі айнымалы арасындағы күшті байланысты көрсетеді. 0-ге жақын коэффициент мәні екі айнымалы арасында күшті байланыстың жоқтығын көрсетеді. Бұл мақалада корреляция коэффициенті, оны есептеу әдістері, оны түсіндіру және әртүрлі салаларда қолдану талқыланады.
Корреляция коэффициентіне кіріспе
Корреляция коэффициенті екі айнымалының қаншалықты тығыз байланысты екенін сандық түрде көрсетеді. Корреляция коэффициенттері байланыс бағытына байланысты екі негізгі түрге бөлінеді:
1. Оң корреляция коэффициенті: Бір айнымалы өскен кезде екінші айнымалы да өсетінін көрсетеді.
2. Теріс корреляция коэффициенті: Бір айнымалы өскенде, екінші айнымалының кемитінін көрсетеді.
Екі айнымалы арасындағы байланысты байланыс күшіне қарай үш түрге бөлуге болады:
1. Күшті корреляция: Коэффициент -1 немесе 1-ге жақын.
2. Орташа корреляция: Коэффициент -0.5-тен -1-ге дейін немесе 0.5-тен 1-ге дейін.
3. Әлсіз корреляция: Коэффициент 0-ге жақын.
Корреляция коэффициентін есептеу әдісі
Корреляция коэффициентін есептеу үшін бірнеше кең таралған әдістер қолданылады, соның ішінде Пирсон корреляциясы, Спирман корреляциясы және Кендалл корреляциясы. Осы әдістердің әрқайсысын толығырақ қарастырайық.
1. Пирсон корреляциясы
Пирсон корреляция коэффициенті көбінесе екі айнымалы да үздіксіз және қалыпты үлестірімге ие болған кезде қолданылады. Пирсон корреляция коэффициентінің формуласы:
\[ r = \frac {n(\Sigma xy) – (\Sigma x)(\Sigma y)}{ \sqrt{ [n \Sigma x^2 – (\Sigma x)^2] [n \Sigma y^2 – (\Sigma y)^2 ] } } \]
Қайда:
– \( r \) = корреляция коэффициенті,
– \( n \) = деректер жұптарының саны,
– \( \Sigma xy \) = \(x \) және \(y \) деректер жұптарының көбейтінділерінің қосындысы,
– \( \Sigma x \) = мәндерінің қосындысы \( x \),
– \( \Sigma y \) = мәндердің қосындысы \( y \),
– \( \Sigma x^2 \) = \( x \) квадраттарының қосындысы,
– \( \Sigma y^2 \) = \( y \) квадраттарының қосындысы.
2. Спирмен рангінің корреляциясы
Спирман корреляция коэффициенті реттік деректер үшін немесе қалыптылық туралы болжам орындалмаған кезде қолданылады. Спирман корреляциясы нақты мәндеріне емес, деректер мәндерінің рейтингіне негізделген. Спирман корреляция коэффициентінің формуласы:
\[ \rho = 1 – \frac {6\Sigma d_i^2}{n(n^2-1)} \]
Қайда:
– \( \rho \) = Спирмен корреляция коэффициенті,
– \(d_i \) = \(x \) және \(y \) деректер жұптарының рейтингі арасындағы айырмашылық,
– \( n \) = деректер жұптарының саны.
3. Кендаллдың Тау корреляциясы
Кендалл корреляция коэффициенті екі реттік айнымалы арасындағы байланыстың беріктігін өлшейді. Спирман корреляциясынан айырмашылығы, Кендалл корреляциясы конкордант және дискордант жұптар санына көбірек назар аударады. Кендалл корреляция коэффициентінің формуласы:
\[ \tau = \frac{ (C – D)} { \sqrt{(C + D + T) (C + D + U) } } \]
Қайда:
– \( \tau \) = Кендалл корреляция коэффициенті,
– \( C \) = конкордант жұптар саны,
– \( D \) = диспордант жұптар саны,
– \( T \) = \( x \) айнымалысындағы қатар жұптарының саны,
– \( U \) = \( y \) айнымалысындағы қатар жұптарының саны.
Корреляция коэффициентін түсіндіру
Корреляция коэффициентін түсіндіру алынған коэффициенттің мәніне байланысты:
– Коэффициент +1: Мінсіз оң қатынас.
– 0.7-ден 0.9-ға дейінгі коэффициент: Күшті оң байланыс.
– 0.4-тен 0.6-ға дейінгі коэффициент: Орташа оң қатынас.
– 0.1-ден 0.3-ке дейінгі коэффициент: Әлсіз оң байланыс.
– 0 коэффициенті: Байланыс жоқ.
– -0.1-ден -0.3-ке дейінгі коэффициент: Әлсіз теріс байланыс.
– -0.4-тен -0.6-ға дейінгі коэффициент: Орташа теріс қатынас.
– -0.7-ден -0.9-ға дейінгі коэффициент: Күшті теріс байланыс.
– -1 коэффициенті: Абсолютті теріс қатынас.
Корреляция коэффициентін қолдану
Корреляция коэффициенті экономика, әлеуметтік ғылымдар, денсаулық сақтау, білім беру және басқа да салаларда кеңінен қолданылады. Міне, бірнеше мысалдар:
1. Экономика: Инфляция мен жұмыссыздық немесе тұтынушылық шығындар мен табыс арасындағы байланысты анықтау.
2. Әлеуметтік ғылымдар: Білім мен табыс арасындағы немесе әлеуметтік медиа мен психологиялық әл-ауқат арасындағы байланысты анықтау.
3. Денсаулық: Темекі шегу әдеттері мен өкпе қатерлі ісігі жағдайлары немесе белсенді өмір салты мен жүрек денсаулығы арасындағы байланысты салыстыру.
4. Білім беру: Оқу уақыты мен емтихан нәтижелері арасындағы немесе сыныптағы оқушылар саны мен оқушылардың жетістіктері арасындағы байланысты зерттеу.
Деректер жиынтығын пайдаланудың практикалық мысалдары
Мысалы, бізде математикалық тест нәтижелері мен 10 оқушының сағатпен берілген оқу уақытын қамтитын деректер жиынтығы бар делік:
««
Студенттердің оқу сағаттары Математика бойынша бағалар
1 5 85
2 3 78
3 6 90
4 2 76
5 4 80
6 6 88
7 5 85
8 3 82
9 7 91
10 5 87
««
Біз Study_Hours және Math_Score арасындағы Пирсон корреляция коэффициентін есептей аламыз. Пирсон формуласын пайдаланып, алдымен \( \Sigma x \), \( \Sigma y \), \( \Sigma xy \), \( \Sigma x^2 \) және \( \Sigma y^2 \) есептейміз, содан кейін бұл мәндерді формулаға қойып, \( r \) мәнін аламыз.
Қорытынды
Корреляция коэффициенті деректерді талдауда екі айнымалы арасындағы байланыстың күші мен бағытын анықтауға арналған қуатты құрал болып табылады. Тиімді деректерді талдау үшін корреляция коэффициентінің тұжырымдамасын, есептеу әдістерін және түсіндірмесін түсіну өте маңызды. Дұрыс түсіну арқылы біз әртүрлі салалардағы айнымалылар арасындағы корреляцияларды жақсы анықтай аламыз және деректерге негізделген шешімдер қабылдай аламыз.
