წერტილოვანი გამრავლების მასალა ერთეულოვანი ვექტორული კომპონენტების გამოყენებით
სკალარული ნამრავლის პირდაპირ გამოთვლა შეგვიძლია, თუ ვიცით ვექტორების A და B (ცნობილი ვექტორები) x, y და z კომპონენტები.
ამ გზით წერტილოვანი ნამრავლის შესასრულებლად, ჯერ ერთეულოვანი ვექტორების წერტილოვან ნამრავლს ვასრულებთ, შემდეგ ვექტორებს A და B მათ კომპონენტებში გამოვხატავთ, ვშლით ნამრავლს და ვიყენებთ ერთეულოვანი ვექტორების ნამრავლს.
ერთეულოვანი ვექტორები i , j და k ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, რაც გამოთვლებს აადვილებს. ზემოთ მოცემული სკალარული გამრავლების განტოლების ( AB = AB cos theta ) გამოყენებით, ვიღებთ:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
ახლა ვექტორებს A და B გამოვხატავთ მათი კომპონენტების სახით, ვშლით მათ ნამრავლს და ვიყენებთ ერთეულოვანი ვექტორების ნამრავლს.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
იმიტომ რომ i . i = j . j = k . k = 1 და i . j = i . k = j . k = 0, მაშინ:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
ა . ბ = ა x ბ x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
ამ გამოთვლის შედეგების საფუძველზე, შეიძლება დავასკვნათ, რომ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ან წერტილოვანი ნამრავლი მათი მსგავსი კომპონენტების ნამრავლების ჯამია.
მაგალითი კითხვა 1:
დიდი ვექტორი A დენ B შესაბამისად, 5 და 4-ია, როგორც ეს ქვემოთ მოცემულ სურათზეა ნაჩვენები. წარმოქმნილი კუთხე 90 გრადუსია.oდაითვალეთ წერტილოვანი ნამრავლი ორივე ვექტორი.
დისკუსია
სანამ A და B ვექტორების წერტილოვან ნამრავლს გამოვთვლით, ჯერ მეორე ვექტორის კომპონენტები უნდა ვიცოდეთ.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
ა z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
ვექტორ A-ს მხოლოდ ვექტორული კომპონენტები აქვს x ღერძზე, ხოლო ვექტორ B- ს მხოლოდ y ღერძზე. z კომპონენტი ნულის ტოლია, რადგან ვექტორები A და B xy სიბრტყეზეა.
ახლა ვექტორებს A და B შორის წერტილოვანი ნამრავლის გამოთვლა შეგვიძლია კომპონენტური ვექტორების მქონე წერტილოვანი ნამრავლის განტოლების გამოყენებით:
ა B = Ax Bx + AyBy + AzBz
ა. ბ = (5) (0) + (0) (4) + 0
ა. ბ = 0 + 0 + 0
ა. ბ = 0
მოდით შევადაროთ ის პირველ მეთოდს
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
შედეგი იგივეა.
მაგალითი კითხვა 2:
დიდი ვექტორი A დენ B შესაბამისად 5 და 4-ია, როგორც ეს ქვემოთ მოცემულ სურათზეა ნაჩვენები. გამოთვალეთ წერტილოვანი ნამრავლი ორივე ვექტორი, თუ წარმოქმნილი კუთხე 30 გრადუსიაo
დისკუსია
სანამ A და B ვექტორების წერტილოვან ნამრავლს გამოვთვლით, ჯერ მეორე ვექტორის კომპონენტები უნდა ვიცოდეთ.
z კომპონენტი ნულის ტოლია, რადგან ვექტორები A და B xy სიბრტყეში არიან.
ახლა ვექტორებს A და B შორის წერტილოვანი ნამრავლის გამოთვლა შეგვიძლია კომპონენტური ვექტორების მქონე წერტილოვანი ნამრავლის განტოლების გამოყენებით:
შეადარეთ პირველ მეთოდს.
