წრის განმარტების განხილვის კითხვების მაგალითები

წრის განმარტების განხილვის სამაგალითო კითხვები

წრე ერთ-ერთი ფუნდამენტური გეომეტრიული ფიგურაა, რომელსაც ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით. მათემატიკაში წრეებს უნიკალური განმარტებები და მახასიათებლები აქვთ. ეს სტატია სიღრმისეულად შეისწავლის წრის და მასთან დაკავშირებული ელემენტების განმარტებას, ასევე მოგვცემს რამდენიმე მაგალითს და მათ ამოხსნას, რათა გავაღრმავოთ წრეების შესახებ ჩვენი გაგება.

წრის განმარტება

წრე არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომლებიც თანაბრად არიან დაშორებული ფიქსირებული წერტილიდან, რომელსაც წრის ცენტრი ეწოდება. ცენტრსა და წრის ნებისმიერ წერტილს შორის მანძილს წრის რადიუსი ეწოდება. წრის ზოგადი განტოლება, რომლის ცენტრია \(h, k)\) წერტილი და რადიუსი \(r\) მოცემულია შემდეგნაირად:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

იქ:
– \((h, k)\) წრის ცენტრის კოორდინატებია,
– \(r\) წრის რადიუსია,
– \(x\) და \(y\) არის წრეზე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები.

წრის ელემენტები

სანამ სამაგალითო კითხვებზე გადავიდოდეთ, კარგი იქნება, თუ წრეში არსებულ რამდენიმე მნიშვნელოვან ელემენტს გავიცნობთ:
1. წრის ცენტრი: ფიქსირებული წერტილი, რომელიც წარმოადგენს ყველა იმ წერტილის ცენტრს, რომლებიც ერთმანეთისგან ერთნაირ მანძილზე არიან დაშორებულნი.
2. რადიუსი (r): მანძილი წრის ცენტრიდან წრის ნებისმიერ წერტილამდე.
3. დიამეტრი (d): სწორი ხაზი, რომელიც გადის წრის ცენტრში და აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს, მისი სიგრძე რადიუსზე ორჯერ მეტია (\(d = 2r\)).
4. რკალი: წრის გარშემოწერილობის ნაწილი, რომელიც წრეზე ორ წერტილს შორის მდებარეობს.
5. აკორდი: სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს, მაგრამ არ გადის ცენტრზე.
6. აპოთემა: წრის ცენტრიდან აკორდამდე უმოკლესი მანძილი.
7. ცენტრალური კუთხე: კუთხე, რომელსაც წრის ცენტრიდან ორი რადიუსი ქმნის.
8. პერიმეტრის კუთხე: კუთხე, რომელსაც ქმნის ორი აკორდი, რომლებიც წრეზე ერთ წერტილში იკვეთებიან.

კითხვებისა და დისკუსიების ნიმუში

მაგალითი კითხვა 1
კითხვა: მოცემულია წრე, რომლის ცენტრია \(3, 4)\) წერტილში და გადის \(7, 4)\ წერტილში. განსაზღვრეთ წრის განტოლება.

დისკუსია:
წრის განტოლების საპოვნელად, ჯერ მისი რადიუსი უნდა ვიცოდეთ. რადგან წრე გადის წერტილ \(7, 4)\), შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი ამ წერტილსა და წრის ცენტრს შორის, რაც \(3, 4)\)-ს ტოლია.

\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]

ცენტრით \((3, 4)\) და რადიუსით 4, წრის განტოლებაა:

\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]

მაგალითი კითხვა 2
კითხვა: განსაზღვრეთ 5 სმ რადიუსის მქონე წრის ფართობი და გარშემოწერილობა.

დისკუსია:
– წრის ფართობის (A) გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის \(A = \pi r^2\) გამოყენებით,
\[
A = \pi \times 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ სმ}^2
\]
თუ \(\pi \დაახლოებით 3.14\), მაშინ:
\[
დაახლოებით 25 x 3.14 = 78.5 სმ^2
\]

– წრის გარშემოწერილობის (C) გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის \(C = 2\pi r\) გამოყენებით,
\[
C = 2 x 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ სმ}
\]
თუ \(\pi \დაახლოებით 3.14\), მაშინ:
\[
C \დაახლოებით 10 \ჯერ 3.14 = 31.4 \ტექსტი{ სმ}
\]

მაგალითი კითხვა 3
კითხვა: წრის ცენტრი O წერტილშია, ხოლო რადიუსი 7 სმ. თუ წრეზე დახაზულია 10 სმ სიგრძის ქორდა, განსაზღვრეთ უმოკლესი მანძილი O ცენტრიდან ქორდამდე.

დისკუსია:
ცენტრიდან აკორდამდე უმოკლესი მანძილის საპოვნელად ვიყენებთ აპოთემის კონცეფციას, რომელიც წარმოადგენს ცენტრიდან აკორდამდე უმოკლეს მანძილს. 7 სმ რადიუსისა და 10 სმ სიგრძის აკორდის შემთხვევაში, ამ პრობლემას შეგვიძლია მივუდგეთ წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედის გამოყენებით.

თუ აკორდის შუა წერტილი C წერტილია, მაშინ OC არის აპოთემა, რომელსაც ვეძებთ. თუ A და B აკორდის ბოლო წერტილებია, მაშინ AC და BC თითოეული 5 სმ-ია (10 სმ-ის ნახევარი).

C წერტილში მართკუთხა OAC სამკუთხედიდან ვიყენებთ პითაგორას თეორემას:

\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{სმ}
\]

მაგალითი კითხვა 4
კითხვა: მოცემულია წრე განტოლებით \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). განსაზღვრეთ წრის ცენტრი და რადიუსი.

დისკუსია:
ცენტრისა და რადიუსის საპოვნელად, განტოლებას სტანდარტულ ფორმაში გარდავქმნით:

\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]

ჩვენ ვხსნით კვადრატული ფორმის დახვეწით:

\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]

x-წევრისთვის (6/2)\(^2\)-ის და y-წევრისთვის (8/2)\(^2\)-ის დამატება და გამოკლება:

\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]

განტოლებიდან \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\), ვხვდებით, რომ წრის ცენტრი \((-3, 4)\)-ია და რადიუსი \(r = \sqrt{16} = 4\).

დასკვნა
წრე გეომეტრიაში ფუნდამენტური და უმნიშვნელოვანესი ცნებაა. ზემოთ მოცემული მაგალითებისა და განხილვების საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია უფრო ღრმად გავიგოთ წრეების სხვადასხვა ასპექტი და თვისებები. ამ თემის დაუფლება გაამარტივებს უფრო რთული გეომეტრიული ამოცანების გაგებას და გადაჭრას.