努力とエネルギー

テーブルの表面にある本を押して、本が動くまで押し続けると、 努力 この本では、物体が地球の重力によって引っ張られて地表に落下する場合、地球の重力はその物体に仕事をしたことになります。逆に、汗だくになるまで全力で物体を押しても、物体が動かない場合は、物体に仕事をしていないことになります。日常生活では、他の人はあなたが物体を押すのに努力や大変な仕事をしたと言いますが、この本によれば、 物理物体は変位しないので、物体に対して何の仕事も行いません。

物体に作用する仕事は、一定の力（力の大きさと方向が常に一定）または可変の力（力の大きさと方向が常に変化する）によって行うことができます。大きさと方向が一定の力の例は、物体が地球の表面近くにあるときに物体に作用する重力です。物体が地球の表面近くで自由落下するとき、物体を加速させる重力の大きさと方向が一定であるため、物体の自由落下加速度の大きさと方向は一定です。大きさが変化する力（力の方向は一定）の例は、 バネの力バネを伸ばす場合、長さの増加が大きいほど、引っ張る力は強くなります。バネが伸びるにつれて、バネにかかる力の大きさは一定ではありません。別の例として、ロケットが宇宙へ飛び立つときや地球に戻ってくるときが挙げられます。ロケットが移動するにつれて、ロケットに作用する重力の大きさは、地球の中心からの距離の二乗に反比例して変化します。

数学的には、物体に一定の力が加わったときに物体が行う仕事は、変位と力の積、または物体の変位方向における力の成分として定義される。

バネのような非定常的な力が行う仕事は、定常的な力が行う仕事の公式では計算できません。バネを伸ばす場合、バネが伸びるにつれて、バネを伸ばすのに必要な引張力も大きくなります。同様に、バネを圧縮する場合、バネが締まるにつれて、必要な押す力も大きくなります。バネが圧縮または伸張されている間は、バネの力は0 (x = 0) から最大 (F = kx) まで変化するため、バネの力は平均値を用いて計算されます。

問題例

1. 2018年度全国統一試験問題

質量 m のブロックが滑らかな平面上に置かれている。ブロックは位置 (1) で静止しており、図に示すように時間間隔 t の間に力 F によって位置 (2) まで引っ張られる。

質量と力を変化させることで、以下のデータが得られました。

上記の表から、物体が行う仕事は大きいものから小さいものへと順に…

討論

周知された：

初速度 (v_o）= 0

質問:

ジャワブ：

作業式：

W = F s ………. ルムス1

GLBB式：

s = v_o t + 1/2 at²

s = 1/2 at²

代替品 フォーミュラ1

W = F (1/2で²）…… ルムス2

力の公式：

F = ma

a = F/m

代替品 フォーミュラ2

W = 0,5 F (F/m) t²

W = 0,5 (F²/m) t² .......... ルムス3

式3を用いて労力を計算してください。

1) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5（3²/12)(4²) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

2) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5（4²/16)(3²) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5

3) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5（5²/20)(2²) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5

4) W = 0,5 (F²/m) t² = 0,5（6²/24)(1²) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75

物体の大きさが大きい順に、物体が行う仕事は1、2、3、4です。

2. 2017年度高等学校・職業高校全国統一試験問題

質量6kgの箱が8m/sの速度で滑っている。^-1 傾斜角のある粗い傾斜面上 α 平らな面に対して。木箱に作用する摩擦力が 5 N で tan が α = 3/4 の場合、傾斜面の最下部で木箱を止めるために必要な力 F は…

A. 15 N

B. 25 N

C. 45 N

D. 55 N

E. 69,4 N

討論

以下のことが知られています。

木箱の質量 (m) = 6 kg

重力加速度 (g) = 10 m/s²²

箱の初速度 (v_o) = 8 m/秒

箱の最終速度 (v_t) = 0 m/s (箱は斜面の底に到達する前に停止しなければならない)

摩擦力（F） _ゲセク） = 5 N

接線α = 前面 / 底面 = 3/4

斜辺 = 5メートル

質問: F

ジャワブ：

機械的な仕事エネルギー定理：

非保存力が行う仕事＝力学的エネルギーの変化

非保存力が行う仕事＝運動エネルギーと位置エネルギーの変化。

非保存力は2つあり、それは動摩擦力とF力である。

箱に働く動摩擦力による仕事：

W = -(F_GES)(s) = -(5)(5) = -25

摩擦力の方向が箱の運動方向と逆であるため、負の値になります。

力によって行われた仕事 F:

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

負の値となるのは、力Fの方向が箱の運動方向と逆向きであるためです。

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (6)(0² – 8²) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

重力ポテンシャルエネルギーの変化：

ΔEP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

最終位置が初期位置より下にあるため、hは負の値になります。

機械的な仕事エネルギー定理：

W_nc = ΔEM

W_GES + W_F = ΔEP + ΔEK

-25 – 5F = -180 -192

-25 – 5F = -372

-5F = -372 + 25

-5F = -347

F = -347 / -5

F = 69,4ニュートン

正解はEです。

3. 2017年度高等学校・職業高校全国統一試験問題

図に示すように、10 kgのブロックが点Aから点Bを横切って点Cで停止します。ブロックと粗い表面との間の動摩擦係数は0,2なので、経路ABCの長さは…

A. 250cm

B. 200cm

C. 150 cm

直径100cm

E. 80 cm

討論

以下のことが知られています。

ブロックの質量 (m) = 10 kg

重力加速度 (g) = 10 m/s²²

ブロックの重量 (w) = mg = (10 kg)(10 m/s²) = 100ニュートン

斜面の高さ (h) = 30 cm = 0,3 メートル

斜面の長さ（s）＝50cm＝0,5メートル

動摩擦係数（μ_k）= 0,2

動摩擦力 (f_k）= μ_k N = μ_k w = (0,2)(100 N) = 20 N

質問: 経路ABCの長さ

ジャワブ：

点ABからの物体の運動を考えてみましょう。

点Aにおける初期の力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30ジュール

点Bにおける最終的な力学的エネルギー＝運動エネルギー

力学的エネルギー保存の法則：

初期力学的エネルギー = 最終力学的エネルギー

30ジュール＝運動エネルギー

したがって、点Bにおける運動エネルギーは30ジュールである。

点BCからの物体の運動を考えてみましょう。

仕事-力学的エネルギー定理は、非保存力が行う仕事は物体の力学的エネルギーの変化に等しいと述べています。力学的エネルギーの変化 = 最終力学的エネルギー - 初期力学的エネルギー。数式で表すと次のようになります。

W_NC = ΔEM

W_NC = EM₂ – EM₁

物体は平らな面上に置かれているため、重力による位置エネルギーはゼロである。力学的エネルギー（EM）＝運動エネルギー（EK）。

初期運動エネルギー（EK）₁) = 点Bにおける運動エネルギー = 30ジュール

最終運動エネルギー（EK）₂) = 点 C での運動エネルギー = 0 (ブロックが停止する)。

BCの非保存力によってなされる仕事は、動摩擦力によってなされる仕事に等しい。

W_NC = – f_k s = – 20秒

だから

W_NC = EK₂ – EK₁

– 20秒 = 0 – 30

– 20秒 = – 30

20秒 = 30

s = 30/20 = 3/2 = 1,5メートル = 1,5 x 100 cm = 150 cm。

線路ABCの長さ = 50cm + 150cm = 200cm。

正解はBです。

4. 2014/2015年度 SMA/MA 物理全国試験問題番号8

次の図を見てください！ブロックは摩擦係数0,4の粗い傾斜面上を滑ります。 g = 10 m/s^-2 つまり、ブロックが斜面の底に接触したときの速度は…

A. 2√5 ms^-1

B. 2√7 ms^-1

C. 2√14 ms^-1

D. 2√19 ms^-1

E.2√23 ms^-1

討論

下の写真を見ながら

以下のことが知られています。

初期高さ（h）_o） = 6メートル

最終高さ（h）_t） = 0メートル

初速度 (v_o）= 0 （最初はブロックはまだ）

動摩擦係数（μ_k) = 0,4 (ブロックが滑るとき、静止摩擦係数ではなく動摩擦係数が)

重力加速度 (g) = 10 m/s²^-2

COS θ = 下向き/傾斜 = 8/10

垂直方向の重量成分 = w_y = w cos θ = mg cos θ = m (10)(8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

垂直抗力 = N = w_y = 8メートル

動摩擦力 = f_k = μ_k N = μ_k w_y = (0,4)(8 m) = 3,2 m

質問: 最終速度（v）_t)

ジャワブ：

仕事エネルギー定理とは、非保存力が物体に対して行う仕事は、物体の力学的エネルギーの変化に等しいという定理である。非保存力の例としては、動摩擦力が挙げられる。

W_nc = ΔEM

W_nc = ΔEK + ΔEP

説明：

W_nc = 非保守的な力によって行われる仕事、 ΔEM = 機械的エネルギーの変化、 ΔEK = 運動エネルギーの変化、 ΔEP = 位置エネルギーの変化。

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² – 0) = 1/2 mv_t²

位置エネルギーの変化：

ΔEP = mg (h_t - NS_o) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

運動摩擦によってなされる仕事：

Wnc = – f_k s = – (3,2 m)(10) = – 32 m

運動摩擦力が負の仕事をするため、これは負の値になります。運動摩擦力の方向（上向き）は、物体の変位の方向（下向き）と逆向きです。

最終速度 (v) を計算します_t）：

Wnc = ΔEK + ΔEP

– 32メートル = 1/2 mV_t² – 60メートル

– 32メートル = m (1/2 v_t² - 60）

- 32 = 1/2 v_t² - 60

–32 + 60 = 1/2 v_t²

28 = 1/2 v_t²

2 (28) = v_t²

56 = v_t²

v_t = √4.14

v_t = 2√14 ms^-1

正解はCです。

5. 2014/2015年度 SMA/MA 物理全国試験問題番号8

横の写真を見てください！

ブロックが粗い斜面を滑り降り、斜面の底に秒速10メートルで到達する。^-1摩擦力が2Nでg = 10msの場合^-2すると、h の値は…となります。

A. 10メートル

B. 8メートル

C. 6メートル

D. 4 m

E. 2 m

討論

以下のことが知られています。

ブロックの質量 (m) = 1 kg

初速度 (v_o）= 0 （最初はブロックはまだ）

最終速度（v）_t）＝10ミリ秒^-1

初期高さ（h）_o) = h

最終高さ（h）_t）= 0

動摩擦力 (f_k） = 2 N

重力加速度 (g) = 10 m/s²^-2

質問: 高さ（h）

ジャワブ：

運動摩擦によってなされる仕事：

Wnc = – f_k s = – (2)(15) = – 30

運動摩擦力が負の仕事をするため、これは負の値になります。運動摩擦力の方向（上向き）は、物体の変位の方向（下向き）と逆向きです。

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² – 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

位置エネルギーの変化：

ΔEP = mg (h_t - NS_o) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

機械的な仕事エネルギー定理の公式：

Wnc = ΔEK + ΔEP

– 30 = 50 – 10 時間

10時間 = 50 + 30

10時間 = 80

h = 80/10

h = 8メートル

正解はBです。