仕事-運動エネルギー定理は、物体に作用する正味の力が行う仕事、すなわち作用の総量は、物体の運動エネルギーの変化量に等しいと述べている。正味の力が正の仕事（正味の力が変位と同じ方向）をする場合、物体の運動エネルギーは増加する。逆に、正味の力が負の仕事（正味の力が変位と反対方向）をする場合、物体の運動エネルギーは減少する。
W合計= EK 2 – EK 1 = 1/2 mv 2 2 – 1/2 mv 1 2
自由落下する物体のように、物体に保存力のみが作用する場合、正味の力は保存力に等しくなります。仕事と運動エネルギーの関係式は、総仕事量、つまり保存力が行う仕事が運動エネルギーの変化量に等しいという形に変換できます。保存力が正の仕事（保存力が変位と同じ方向）をする場合、物体の運動エネルギーは増加します。逆に、保存力が負の仕事（保存力が変位と逆方向）をする場合、物体の運動エネルギーは減少します。
W c = EK 2 – EK 1 = 1/2 mv 2 2 – 1/2 mv 1 2
保存力が物体に対して行う仕事は、物体の位置エネルギーの負の変化に等しい。保存力が正の仕事をする場合、位置エネルギーは減少する。逆に、保存力が負の仕事をする場合、位置エネルギーは増加する。
W c = – (EP 2 – EP 1 ) = – mg (h 2 – h 1 ) = – mgh 2 + mgh 1 = mgh 1 – mgh 2
これまでの考察に基づくと、保存力が物体に対して行う仕事と、物体の運動エネルギーおよび位置エネルギーの変化の間には関係があるように思われる。保存力が正の仕事をする場合、運動エネルギーは増加し、位置エネルギーは減少する。保存力が負の仕事をする場合、運動エネルギーは減少し、位置エネルギーは増加する。
W c = W c
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
説明：
EM 1 = 初期力学的エネルギー、EM 2 = 最終力学的エネルギー、EP 1 = 初期位置エネルギー、EP 2 = 最終位置エネルギー、EK 1 = 初期運動エネルギー、EK 2 = 最終運動エネルギー
問題例
1. 滑らかな斜面の上端（A地点）から、初速度ゼロでブロックが放たれる。ブロックは斜面の下端（E地点）まで滑り落ちる。
AB = BC = CD = DE の場合、C、D、E におけるブロックの速度の比は…
討論
周知された：
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
質問： C、D、E地点におけるブロックの速度を比較してください。
ジャワブ：
力学的エネルギー保存の法則は、初期力学的エネルギー＝最終力学的エネルギーであることを述べている。
初期の力学的エネルギー＝重力ポテンシャルエネルギー
最終的な力学的エネルギー＝運動エネルギー
斜面の最上部では、ブロックは静止しているため、運動エネルギーはゼロで、重力による位置エネルギーは最大です。斜面の最上部から最下部へ移動するにつれて、重力による位置エネルギーは減少し、運動エネルギーに変換されます。斜面の最下部に到達すると、運動エネルギーは最大となり、重力による位置エネルギーはゼロになります。
点Aにおける重力ポテンシャルエネルギー = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
点Aにおける運動エネルギー = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
点Bにおける重力ポテンシャルエネルギー = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
点Bにおける運動エネルギー = 1/2 mv²
点Cにおける重力ポテンシャルエネルギー = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
点Cにおける運動エネルギー = 1/2 mv²
点Dにおける重力ポテンシャルエネルギー = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
点Dにおける運動エネルギー = 1/2 mv²
点Eにおける重力ポテンシャルエネルギー = mgh = mg (0) = 0
点Eにおける運動エネルギー = 1/2 mv²
点Aにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
点Bにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 3/4 mg + 1/2 mv²
点Cにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 2/4 mg + 1/2 mv²
点Dにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 1/4 mg + 1/2 mv²
点Eにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
C地点におけるブロックの速度：
点Cにおける力学的エネルギー＝初期力学的エネルギー（一定の力学的エネルギー）
2/4 mg + 1/2 mv 2 = 4/4 mg
1/2 mv 2 = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mv 2 = 2/4 mg
1/2 mv 2 = 1/2 mg
mv 2 = mg
v 2 = g
v = √g
D地点でのブロックの速度:
点Dにおける力学的エネルギー＝初期力学的エネルギー（一定の力学的エネルギー）
1/4 mg + 1/2 mv 2 = 4/4 mg
1/2 mv 2 = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mv 2 = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v 2 = 2 (3/4) g
v 2 = (6/4) g
v 2 = (3/2) g
v 2 = 1,5g
v = √1,5g
E地点におけるブロックの速度：
点Eにおける力学的エネルギー＝初期力学的エネルギー（一定の力学的エネルギー）
1/2 mv 2 = mg
1/2 v 2 = g
v 2 = 2g
v = √2g
C、D、E地点におけるブロックの速度比較：
√g : √1,5g : √2g
√1 : √1,5 : √2 (2を掛ける)
√2 : √3 : √4
√2 : √3 : 2
2.次の写真を見てください！
2つの物体が点Aから軌道を下ります。最初の物体の質量はm1 = 5 kg、2番目の物体の質量はm2 = 15 kgです。重力加速度がg = 10 m s⁻²である場合、点Bにおける運動エネルギーEk1 ：Ek2の比は…
A. 1 : 2
B. 1 : 3
C. 1 : 9
D. 2 : 1
E. 3 : 1
討論
以下のことが知られています。
物体1の質量（m1 ）＝5kg
物体2の質量（m2 ）＝15kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
点Aと点B間の距離（h）＝40m－30m＝10m
質問：点Bにおける運動エネルギーEk1とEk2の比較
ジャワブ：
点Aにある物体の重力ポテンシャルエネルギーは、点Bから測定される。
EP 1 = m 1 gh = (5 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 500 ジュール
EP 2 = m 2 gh = (15 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 1500 ジュール
力学的エネルギー保存の法則は、初期力学的エネルギー＝最終力学的エネルギーであることを述べている。
初期の力学的エネルギー＝重力ポテンシャルエネルギー
最終的な力学的エネルギー＝運動エネルギー
EP 1 = EK 1
500ジュール = EK 1
EP 2 = EK 2
1500ジュール = EK 2
例1 ：例2
500：1500
5：15
1：3
正解はBです。
3.写真を見てください！
質量mのビー玉が、初速度なしで滑らかな半円形の平面を点Aから転がり落ちる。点Bにおけるビー玉の速度は…
A. 10 ms-1
B. 2√10 ms -1
C. √ 10 m.s -1
D. 2√5 ms -1
E. √ 5 m.s -1
討論
以下のことが知られています。
点Aと点Bの高さの差(h) = 4m - 2m = 2メートル
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
大理石の質量 (m) = m
質問：点Bにおけるビー玉の速度は
ジャワブ：
初期力学的エネルギー = 点Aにおける力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー = mgh = (m)(10)(2) = 20m
最終的な力学的エネルギー = 点 B における力学的エネルギー = 運動エネルギー = 1/2 mv²
力学的エネルギー保存の法則：
初期力学的エネルギー = 最終力学的エネルギー
20 m = 1/2 mv 2
20 = 1/2 v 2
2 (20) = v 2
40 = v 2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
正解はBです。
4.下の図に示すように、ボールが滑りやすいレール上を滑ります。
点Aでのボールの速度が6 ms⁻¹、点Bでの速度が√92 ms⁻¹、g = 10 ms⁻²の場合、トラックの底面から点Bまでの高さは...
A. 0,5メートル
B. 0,5√2m
C. 1メートル
D. √2m
E. 2,8 m
討論
以下のことが知られています。
点Aにおけるボールの速度（v A ）= 6 m/ s
点Bにおけるボールの速度（v B ）= √ 92 ms -1
重力加速度 (g) = 10 ms⁻²
高さA（h A ）＝5,6メートル
高さ B (h B ) = h
質問：トラックの底から点Bまでの高さは？
ジャワブ：
トラックは滑りやすいため、摩擦は生じません。したがって、物体に作用する力は重力のみです。重力は保存力です。保存力が行う仕事は、トラックの形状には依存せず、位置の変化に依存します。
したがって、力学的エネルギー保存の法則の公式を用いて、線路の底から点Bまでの高さを計算することができます。
初期力学的エネルギー＝重力ポテンシャルエネルギー
点Aでは、ボールはまだ動いていないので、速度はゼロです。ボールの速度がゼロなので、ボールの運動エネルギーはゼロです。運動エネルギー：EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0。
しかし、ボールは底から5,6メートルの高さにあるため、重力による位置エネルギーを持っています。重力による位置エネルギー：EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
初期力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 56 m + 0 = 56 m
最終的な力学的エネルギー = 重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー
点Bにあるとき、ボールの高さはhである。重力ポテンシャルエネルギー：EP = mgh = m (10) h = 10 mh
点Bは点Aよりかなり下にあるため、ボールは一定の速度で動き続けています。ボールは一定の速度で動き続けているため、運動エネルギーを持っています。運動エネルギー：EK = 1/2 mv² = 1/2 m ( √ 92 ) ² = 1/2 m ( 92) = 46 m
最終的な力学的エネルギー =重力ポテンシャルエネルギー + 運動エネルギー = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
力学的エネルギー保存の法則：
初期力学的エネルギー = 最終力学的エネルギー
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 h + 46
56 - 46 = 10時間
10 = 10 時間
h = 10/10 = 1メートル
正解はCです。
質問元:
高校・職業高校向け全国統一試験物理問題
