発射体の動き

放物運動に関する記事と、解答付きのサンプル問題。

初速度 (v_o）と初速度の成分（v_ox そしてv_oy)

放物線運動をする物体は、常に初速度を持つ。放物線運動は水平方向と垂直方向の動きの組み合わせであるため、初速度にも水平方向と垂直方向の成分が含まれる。

物体が図1および図3のように放物線運動をする場合、水平方向の初速度（v _ox）と垂直方向の初速度（v _oy）は次の式を用いて計算されます。

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

物体が図2のように放物線運動をする場合、v _o = v _ox (v _oy = 0)となります。

速度（v）_x そしてv_y）と位置（xとy）

ある時間間隔における水平方向および垂直方向の速度は、次の式を用いて計算されます。

v _x = v _ox = 一定 (等速直線運動)

v _y = v _oy + gt または v _y ² = v _oy ² + 2 gh (自由落下運動)

ある時間間隔における物体の水平方向（x軸）および垂直方向（y軸）の位置は、次の式を用いて計算されます。

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

速度（v）と位置（h）の合成値

特定の時間間隔における合成速度は、次の式を用いて計算されます。

ある時間間隔における物体の方向は、次の式を用いて計算されます。

注意：

1. 放物線運動の水平成分は等速直線運動とみなされるため、vox = vx は常に一定である。

2. 放物線運動の鉛直成分は自由落下運動とみなされるため、図1や図3のように物体が放物線運動をする場合、最高点における物体の速度の鉛直成分はゼロになります（v _y = 0）。ビー玉を最高点まで垂直に投げ上げると、物体は下向きに回転する前に一瞬静止します（v _y = 0）。したがって、放物線運動をする物体の最高点における速度は v _x = v _{oxとなります。}

3. 図2に示すように物体が放物線運動をする場合、放物線運動の垂直成分は自由落下運動とみなされます。図1および図3に示すように物体が放物線運動をする場合、放物線運動の垂直成分は上向きの垂直運動とみなされます。

サンプル問題：

1. 弾丸が初速度 20 m/s で水平方向に発射される。銃が地面から 5 メートル上にある場合、以下を求めよ。

（a）空中滞在時間

（b）最大高さ

（c）水平距離

（d）弾丸が地面に当たったときの速度

解決策：

水平方向の運動は等速直線運動として解析され、垂直方向の運動は自由落下運動として解析される。

既知：

v _ox = 20 m/s、_voy = 0 m/s、h = 5 m、g = 9.8 m/ ^s²

a) 空中滞在時間

解決策は、自由落下運動における時間間隔（t）を決定することである。

既知： voy = 0 m/s、h = 5 m、g = 9.8 m _/ ^s²

求む: t

b) 最大高さ

最大高さ = h = 5メートル。

c) 水平距離 (d)

解決策は、等速直線運動における距離を決定するのと同様です。

既知： v _ox = 20 m/s、t = 1秒

求む： d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) 弾丸が地面に当たったときの速度

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

まず、鉛直方向の最終速度（vty）を計算します。この解法は、自由落下運動の最終速度を求めるのと同様です。

既知： voy = 0、g = 9.8 m/s² _、^t = 1 s

求む: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

弾丸が地面に衝突したときの速度：

弾丸の方向：

v _{tx は}正の x 軸の方向 (右方向) であり、v _{ty は}負の y 軸の方向 (下方向) であるため、

弾丸が地面に当たったときの方向は、正のx軸に対して-26.1 ^{°である（下図参照）。}

2. 大砲は水平面に対して30^度の角度で60m/sの速度で弾丸を発射した。以下を求めよ。

（a）最大高さ

（b）弾丸が最高高度に達したときの速度

（c）空気中滞在時間

（d）水平距離

（e）弾丸が地面に衝突したときの速度。地面は平らだと仮定します。🙂

解決策：

水平方向の運動は等速直線運動として解析され、垂直方向の運動は上向きの垂直運動として解析される。

既知: v _o = 60 m/s、theta = 30 ^o。

既知のデータに基づいて、まず初期速度 (v _{o ) の垂直成分 (v oy} ) と水平成分 (v _ox ) を計算します。

a) 最大高さ (h)

その解決策は、上昇する垂直運動における最大高度を決定することに似ている。

既知：

v _ox = v _o cosθ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sinθ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) 最大高さ (h)

その解決策は、垂直上昇運動における最大高度を決定することに似ている。

既知：

v _oy = 30 m/s（これは弾丸の初速度です）

v _ty = 0 m/s（最高到達点では、弾丸の垂直速度は0 m/sになります。これが最終速度です。）

g = – 9.8 m/ ^s²

求む: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 時間

900 = 19.6 時間

h = 900 / 19.6

h = 45.9メートル

弾丸が到達した最高高度は45.9メートルです。

b) 最高高度での速度

最高高度では、鉛直方向の速度は 0 m/s です。最高高度では、水平方向の速度のみが存在します。最高高度における水平方向の速度は、水平方向の初速度である 52.2 m/s に等しくなります。水平方向の速度の方向は常に一定であり、つまり、正の x 軸方向です (上の図で物体の運動が表されている場合)。

c) 飛行時間

その解決策は、垂直上昇運動に関する議論における時間間隔（t）を決定することと同様である。

既知：

v _oy = 30 m/s（これは弾丸の垂直方向の初速度です）

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m（弾丸が地面に戻ったとき、弾丸の垂直方向の変位は0 mとなる）

求む: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t=6.12秒

空中滞在時間 = 6.12秒

d) 水平距離 (d)

その解法は、等速直線運動における距離（d）を求めることに似ている。

既知：

v _ox = 52.2 m/s

t=6.12秒

求む： d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 秒) = 319.5 m

e) 弾丸が地面に当たったときの速度

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

まず、鉛直方向の最終速度 (v _ty ) を計算します。解決策は、鉛直上向き運動の最終速度を求めることです。

要求条件： v _oy = 30 m/s、g = -9.8 m/s² ^、 t = 6.12 秒

求む: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

負の符号は、最終速度の方向が下向きであることを示します。なお、鉛直方向の初期速度は、鉛直方向の最終速度と等しいことに注意してください。

弾丸が地面に衝突したときの速度：

弾丸の方向：

v _{tx は}正の x 軸 (右方向) の方向であり、vty は負の y 軸 (下方向) の方向であるため、

弾丸が地面に衝突したときの速度の方向は、正のx軸を中心として-30 ^{°である（下図参照）。}

3. 高さ50メートルの建物の端から、初速度10m/sでボールが投げられた。ボールが水平面に対して30°の角度で投げられた場合、次の値を求めよ。

（a）ボールが地面に到達するまでの時間間隔

（b）ボールが地面に衝突したときの速度

（c）ボールが到達できる水平距離は、建物の端から測定される。

（d）ボールが到達した最高高度

解決策：

まず、初期速度 (v _o ) の垂直成分 (v _oy ) と水平成分 (v _ox ) を計算します。

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) ボールが地面に到達するまでの時間間隔

解法は、垂直上向き運動における時間間隔 (t) を決定することに似ています。上向きのベクトルの大きさを正、下向きのベクトルの大きさを負とします。ボールが投げられた位置を基準点として選択します。地面が基準点より下にあるため h は負、重力加速度の方向が下向きであるため g は負となります。

既知：

v _oy = 5 m/s、h = – 5 m、g = – 9.8 m/ ^s²

求む: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

二次方程式の解の公式を使用します。

空中滞空時間＝ボールが投げられてから地面に到達するまでの時間＝1.64秒。

b) ボールが地面に衝突したときの速度

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

まず、鉛直方向の最終速度 (v _ty ) を計算します。この解法は、鉛直上向き運動の最終速度を求めるのと同様です。

既知： voy = 5 m/s、g = -9.8 m/s² _、^t = 1.64秒

求む: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

負の符号は、最終速度の方向が下向きであることを示している。

弾丸が地面に衝突したときの速度：

弾丸の速度の方向＝弾丸が地面に衝突したときの弾丸の運動方向：

弾丸が地面に衝突したときの速度：

vtx は正の x 軸 (右方向) の方向であり、vty は負の y 軸 (下方向) の方向であるため、

弾丸が地面に当たったときの方向は、正のx軸を中心として-52°である（下図参照）。

c) ボールが到達できる水平距離は、建物の端から測定されます。

その解法は、等速直線運動における移動距離（d）を求めるのと同様である。

既知： t = 1.64秒、v _x = 8.7 m/s

求む： d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) ボールが到達した最高高度

既知: v _oy = 5 m/s、v _ty = 0 m/s (最高高度での速度の垂直成分 = 0 m/s)、g = -9.8 m/s ²。

求む: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3メートル

ボールが到達する最高高度 = 建物の頂上から 1.3 メートル = 1.3 m + 50 m = 51.3 メートルの地面からの高さ。