慣性モーメント

1. 粒子の慣性モーメント

回転する粒子について考察します。質量 m の粒子に力 F を加えると、粒子は軸 O を中心に回転します。粒子は回転軸から r だけ離れています。まず、粒子は静止しています (v = 0)。力 F によって移動した後、粒子はある一定の速度で移動し、接線方向の加速度を持ちます。力 (F)、質量 (m)、および粒子の接線方向の加速度の関係は、式 3 で表されます。

F = ma _tan (式3)

粒子は回転するため、角加速度を持つ。接線加速度と角加速度の関係は、式4で表される。

a _tan = r α (式4)

式3のaを式4のaで置き換える。

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (式5)

r F は力のモーメント、mr ²は粒子の慣性モーメントです。式 5 は、回転する粒子の力のモーメント、慣性モーメント、および角加速度の関係を示しています。式 5 は、回転する粒子に対するニュートンの第 2 法則の式です。

粒子の慣性モーメントは、粒子の質量 (m) と回転軸から粒子間の距離の二乗 (r ² ) の積です。

I = mr ² (式6)

I = 粒子の慣性モーメント、m = 粒子の質量、r = 粒子と回転軸間の距離。式6は、粒子の慣性モーメントを求めるために使用されます。

3.2 粒子の慣性モーメントに関する例題

サンプル問題１。

質量2kgの粒子を長さ0.5メートルのロープに結び付け、回転させた。回転している粒子の慣性モーメントはいくらか？

解決策：

私＝ミスター²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

サンプル問題１。

質量がそれぞれ2kgと4kgの2つの粒子が、長さ2メートルの軽量のワイヤーで接続されている。ワイヤーの質量は無視する。以下の条件を満たす場合、2つの粒子の慣性モーメントを求めよ。

a) 回転軸は2つの粒子の間に位置している

解決策：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) 回転軸は質量2kgの粒子から0.5メートルの距離にある。

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) 回転軸は質量4kgの粒子から0.5メートルの距離にある。

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

上記の計算結果に基づくと、慣性モーメントは回転軸の位置によって大きく影響を受けることがわかります。形状やサイズは同じでも、回転軸の位置が異なるため、慣性モーメントも異なります。

回転軸に近い粒子は慣性モーメントが小さく、回転軸から遠い粒子は慣性モーメントが大きくなります。上記の2つの粒子が剛体であると仮定すると、それぞれの粒子は回転軸に近い位置にあります。

回転軸から遠い粒子の慣性モーメントよりも小さい慣性モーメントを持つ。

3.3 均質な剛体の慣性モーメント

剛体は多数の粒子から構成されています。剛体の慣性モーメントとは、その物体を構成する各粒子の慣性モーメントの総和です。

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

剛体の慣性モーメントを求めるには、回転軸の位置が慣性モーメントに影響するため、物体が回転している状態を考慮する必要があります。各粒子の慣性モーメント（I）は、粒子の質量（m）と、回転軸からの距離（r²）の二乗にも依存します。物体を^構成するすべての粒子の質量の合計が、物体の質量となります。

問題は、各粒子と回転軸との距離がそれぞれ異なることである。

指Rと質量Mを持つ薄いリングの慣性モーメントの公式における減少について検討してください。

回転軸がリングの中心にある場合、薄いリングのすべての粒子は回転軸から離れた位置にあります。薄いリングの慣性モーメントは、すべての粒子の慣性モーメントの合計に等しくなります。

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

全粒子の質量＝薄いリングの質量（M）

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

薄いリングの各粒子は回転軸からr離れており、r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = Rとなる。

薄いリングの慣性モーメントの式：

I = MR ²

I = 薄いリングの慣性モーメント、M = 薄いリングの質量、R = 薄いリングの半径。

回転軸がリングの中心に位置していない場合はどうでしょうか？回転軸がリングの中心に位置していない場合、上記の方法では薄いリングの慣性モーメントの公式を導出することはできません。

なぜなら、各粒子と回転軸との距離が異なるからです。このような問題に対する慣性モーメントの公式の導出については、このトピックでは扱いません。

いくつかの剛体の慣性モーメントの公式

3.4 均質な剛体の慣性モーメントに関する例題

サンプル問題1：

棒状円筒ABは、点Bで回転させたときに質量が3kgになります。

慣性モーメントは 27 kg m ²です。慣性モーメントはいくらですか。

C軸を中心に回転？

解決策：

解決策：

均質な固体棒の慣性モーメントの公式（回転軸は棒の中心にある）：

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

均質な固体棒の慣性モーメントの公式（回転軸は棒の端にある）：

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²