角運動量

回転運動の量、すなわち直線運動における質量（m）に相当するものは、慣性モーメント（I）である。回転運動の量、すなわち直線運動における速度（v）に相当するものは、角速度（ω）である。したがって、回転する物体は角運動量を持ち、それは次の式を用いて計算できる。

L = I ω

L = 角運動量 (kg m ² /s)、I = 慣性モーメント (kg m ² )、ω = 角速度 (rad/s)

角運動量のサンプル問題

サンプル問題１。

質量0.5グラムの粒子が、一定の角速度2ラジアン/秒で円運動をしている。粒子の軌道の半径が10cmの場合、粒子の角運動量を求めよ。

解決策：

粒子の慣性モーメント：

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg m ²

粒子の角速度：

ω=2ラジアン/秒

粒子の角運動量：

L = (0.5 x ^10⁻⁵ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

角運動量保存の法則

角運動量保存の法則とは、回転する剛体に作用する合力モーメントがゼロであれば、回転する剛体の角運動量は常に一定であるという法則です。角運動量保存の法則は、ニュートンの角運動量に関する第二法則の式を修正することで数学的に導出できます。以下は、ニュートンの角運動量に関する第二法則の式です。

角運動量1

合力モーメントがゼロの場合、上記の式は次のように変わります。

角運動量2

I _t = 最終慣性モーメント、I _o = 初期慣性モーメント、ω _t = 最終角速度、ω _o = 初期角速度、L _t = 最終角運動量、L _o = 初期角運動量。

角運動量保存の法則の例題

サンプル問題１。

均質な固体円筒ディスクが、最初は 4 rad/s の速度で軸を中心に回転しています。ディスクの質量と半径は 1 kg と 0.5 m です。ディスクの上に質量 0.2 kg と半径 0.1 m のリングが置かれ、リングの中心が、

ディスクの中心のすぐ上に位置すると、ディスクとリングは一緒に角速度で回転します。

解決策：

固体円柱の慣性モーメント：I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

リングの慣性モーメント：I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

初期角運動量（L ₁）＝最終角運動量（L ₂）

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

概念的な質問と回答

角運動量とは何ですか？
回答： 角運動量とは、物体の質量と形状を考慮した上で、物体がどれだけ回転しているかを示す尺度である。これは、線運動量の回転版と言える。
角運動量は数学的にどのように決定されるのか？
回答： 角運動量（L）は次のように定義される。 $L = r \times p$ ここで、 $r$ は回転軸から作用点までの位置ベクトルであり、 $p$ は線運動量です。
角運動量はスカラー量ですか、それともベクトル量ですか？
回答： 角運動量はベクトル量である。
SI単位系における角運動量の単位は何ですか？
回答： SI単位系における角運動量の単位はキログラムメートル二乗毎秒（kg·m）である。²/s)。
角運動量はどのように保存されるのでしょうか?
回答： 外部トルクのない閉鎖系では、全角運動量は一定に保たれる。
角運動量保存の法則とは何ですか？
回答： この原理によれば、閉鎖系の全角運動量は、外部からのトルクが作用しない限り一定に保たれる。
フィギュアスケーターの回転は、角運動量とどのように関係しているのでしょうか？
回答： フィギュアスケーターがスピン中に腕と脚を体に近づけると、慣性モーメントが小さくなり、回転速度が速くなります。これは角運動量保存の法則を示しています。
トルクと角運動量の関係は何ですか？
回答： トルク（ $τ$ ）は角運動量の変化率です。数学的には、 $τ = d リットル/秒$ .
物体が角速度を持たずに角運動量を持つことは可能でしょうか？
回答： いいえ、物体が角運動量を持つならば、角速度も持ちます。角運動量の大きさと方向は、慣性モーメントと角速度の両方に依存します。
慣性モーメントは角運動量にどのように影響しますか？
回答： 角運動量（L）は、慣性モーメント（I）と角速度（ω）の積である。 $L = I ω$ 一定の角速度において慣性モーメントが増加すると、角運動量も増加する。
量子力学におけるスピン角運動量と軌道角運動量の違いは何ですか？
回答： スピン角運動量は、電子などの粒子に固有の性質であり、空間における運動から生じるものではありません。一方、軌道角運動量は、粒子が中心点の周りを運動することによって生じます。
角運動量は惑星系の形成においてどのような役割を果たすのか？
回答： 分子雲が収縮して星や惑星を形成する際、角運動量保存の法則により、物質は生まれたばかりの星の周囲に円盤状に平坦化し、そこから惑星が形成される。
ジャイロスコープはどのようにして宇宙空間における向きを維持するのでしょうか？
回答： 回転するジャイロスコープは角運動量を持つ。外部トルクによってジャイロスコープの向きを変えようとすると、角運動量保存の法則により、ジャイロスコープは歳差運動、つまり回転軸を、加えられたトルクに垂直な方向に変化させる。
回転するコマに歳差運動が生じる原因は何ですか？
回答： 回転するコマの歳差運動は、コマの重心に作用する重力によるトルクによって引き起こされます。重心は回転軸からずれているため、このトルクによってコマの角運動量の方向が変化し、歳差運動が生じるのです。
なぜ星は極で扁平になるのか？
回答： 恒星が自転すると、遠心力が働き、物質が外側へ押し出されます。この効果は極よりも赤道付近で強く、その結果、恒星は扁平な形になります。
角運動量はケプラーの第二法則とどのように関係しているのでしょうか？
回答： ケプラーの第二法則は、惑星と太陽を結ぶ線分が、等しい時間間隔で掃過する面積が等しいことを述べている。これは角運動量保存の法則の結果である。
猫はなぜ転ぶとき必ず足から着地するのでしょうか？
回答： 猫は角運動量保存の法則を利用している。空中で体をひねり、慣性モーメントを変化させることで、保存則に違反することなく着地時に足で着地できるよう体勢を整えることができるのだ。
電子における磁気モーメントと角運動量にはどのような関係があるのでしょうか？
回答： 電子の磁気モーメントは、そのスピン角運動量と軌道角運動量から生じる。磁気モーメントは電子の角運動量に比例する。
極座標で表した角運動量とは何ですか？
回答： 極座標では、角運動量 $L$ 点質量の場合、次のように表すことができます。 $L = m r v$ ここで、 $m$ 質量です、 $r$ は半径方向の距離であり、 $v$ は接線速度です。
2つの物体が衝突すると、閉鎖系の角運動量はどうなるのか？
回答： 2つの物体が衝突する閉鎖系では、外部トルクが系に作用しないと仮定すると、衝突前の全角運動量は衝突後の全角運動量と等しくなります。

問題と解決策

1. 問題：質量 m = 2 kg の点が、半径 r = 4 m の円周上を速度 v = 3 m/s で運動している。円の中心周りの角運動量を計算せよ。

解答： $L = m \times r \times v$

2. 問題：質量3kg、半径0.5mの固体球が、直径を中心に角速度ω = 2 rad/sで回転している。その角運動量はいくらか？

解答：固体球の場合、 $I = 2/5 m r^{2}$

$L = I \times ω$

3. 問題：質量3kgの点質量が直線上を4m/sの速度で移動している。その運動線から5m離れた点における角運動量はいくらか？

解決策：

$L = m \times v \times r$

4. 問題：質量5kg、半径3mの円盤が角速度2rad/sで回転している。その角運動量を計算せよ。

解答：円盤の場合、 $I = 1/2 m r^{2}$

$L = I \times ω$

5. 問題：長さ4m、質量2kgの棒が、一方の端を軸として角速度3rad/sで回転している。その角運動量を求めよ。

解答：棒の一端周りの $I = 1/3 m l^{2}$

$L = I \times ω$

6. 問題：回転体の角速度が2倍になった場合、角運動量はどれだけ変化するか？

解答：角運動量（L）と角速度（ω）の関係は、 $L = I \times ω$ です。ωが2倍になると、角運動量も2倍になります。

7. 問題：運動する粒子の円軌道の半径が速度を一定に保ったまま2倍になった場合、角運動量はどのくらい変化しますか？

解答：角運動量 $L = m \times r \times v。r$ が2倍になれば、Lも2倍になる。

8. 問題：質量30kgの子供が、静止しているメリーゴーラウンドの端に立っています。メリーゴーラウンドの半径は2mです。子供が地面に対して2m/sの速度で端に沿って走り始めた場合、中心に対する子供の角運動量を求めなさい。

解答： $L = m \times r \times v$

9. 問題：質量6kg、半径2mの円筒が中心軸を中心に角速度5rad/sで回転している。その角運動量を計算せよ。

解答：円柱の場合、 $I = 1/2 m r^{2}$

$L = I \times ω$

10．問題：物体の慣性モーメントが半分になり、角速度が3倍になった場合、その物体の新しい角運動量はどうなるか？

解答： $L = I \times ω$ が与えられている場合、 $I$ を半分にし、 $ω$ を 3 倍にすると、新しい $L$ は元のLになります。

11. 問題：質量2kg、半径1mの輪が角速度4rad/sで回転している。その角運動量を計算せよ。

解答：輪の場合、 $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

12. 問題：長さ0.5m、質量1kgの羽根を持つ扇風機があります。10 rad/sの角速度で回転する場合、その角運動量を求めなさい。

解答：ファンブレードを片端を中心に回転する棒と仮定すると、 $I = 1/3 m l^{2}$

$L = I \times ω$

13. 問題:地球の自転による地球の自転軸周りの角運動量を計算します。与えられた値: 地球の質量、半径 $r = 6371 km$ 、 $ω = 7.27 \times 1 0^{-5} rad/s$ 。

解答：地球を固体球と仮定すると、 $I = 2/5 m r^{2}$

$L = I \times ω$

$L ≒ 7.07 \times 1033kg ・^{m2}^{/} s $

14. 問題：子供が回転台の中心に向かって移動します。角運動量は増加しますか、減少しますか、それとも変化しませんか？

解答：角運動量は保存されます。子供が中心に向かって移動すると、慣性モーメントが減少します。角運動量を保存するためには、角速度が増加します。したがって、角運動量は変化しません。

15. 問題：回転体の運動エネルギーが2倍になった場合、角運動量はどのくらい変化しますか？

解答:運動エネルギー $K = 1/2 I ω^{2}$ および角運動量 $L = I ω$ 。運動エネルギーが 2 倍になり、 $I が$ 一定のままであれば、 $ω^{2}$ $も 2 倍になります。これは、 ω$ が√ $2$ 倍になることを意味します $したがって、 L$ も√ $2$ 倍になります。

16. 問題：半径0.3mの自転車の車輪のリムの質量は1.5kgです。角速度5rad/sで回転する場合、その角運動量を求めなさい。

解答：リムをフープと仮定すると、 $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

$L = 1.5 \times 0.3 2 \times 5 = 6.75 kg.m^{2} / 秒^{}$

17. 問題：アイススケーターが回転中に腕を内側に引き寄せると、角運動量はどうなりますか？

解答：スケーターの角運動量は保存されます。腕を体に引きつけることで慣性モーメントが小さくなり、その結果、回転速度が速くなり（角速度が増加）、角運動量が保存されます。

18. 問題:フライホイールの慣性モーメントは 0.2 $kg・m^{2}$ で、角速度 10 rad/s で回転しています。その角運動量を求めなさい。

解決策：

$L = I \times ω$

$L = 0.2 \times 10 = 2 kg^{・m²} / s$

19. 問題：あるシステムに作用する正味の外力トルクがゼロである場合、そのシステムの角運動量について何が言えますか？

解答：正味の外力トルクがゼロの場合、角運動量保存の法則により、システムの全角運動量は一定に保たれる。

20. 問題：質量 m = 5 kg の点が、点 P とそれを結ぶ線に垂直な方向に速度 v = 3 m/s で運動している。点 P からの距離が 4 m の場合、点 P 周りの角運動量を求めよ。

解決策：

$L = m \times r \times v$

$L = 5 \times 4 \times 3 = 60 kg.m^{2} / 秒$